ارتعاشات آزاد سیستم نامیرا قسمت 2

[amir315hossein]

حرکت هارمونیک در ارتعاشات آزاد
رابطه ۶، تابعی هارمونیک از زمان است و حرکت متقارنی حول موقعیت تعادل جرم m
دارد. هر دفعه که جرم از این موقعیت عبور می‌کند، سرعت و شتاب به ترتیب به مقدار ماکزیمم و صفر می‌رسند. هنگامی هم که جرم m در بیشترین دامنه قرار می‌گیرد، مقدار سرعت و شتاب آن به ترتیب صفر و ماکسیمم خواهد بود. به این حرکت، هارمونیک گفته می‌شود و سیستم جرم و فنری که چنین حرکتی داشته باشد، یک نوسان‌گر هارمونیک است و مقدار ωn
، بیان کننده فرکانس طبیعی ارتعاشات آزاد خواهد بود. روش دیگری برای نوشتن رابطه ۵، عبارت زیر است.
A1=Acosϕ A2=Asinϕ
(رابطه ۷)
در رابطه‌های بالا، ثابت‌های جدید A
و ϕ را معرفی کرده‌ایم که به ترتیب، دامنه و زاویه فاز را مشخص می‌کنند و برحسب A1 و A2
قابل تعریف هستند.
A=(A21+A22)1/2=[x20+(˙x0ωn)2]1/2 ϕ=tan−1(A2A1)=tan−1(˙x0x0ωn)
با ادغام رابطه‌های ۵ و ۷، معادله حرکت را به صورت زیر می‌نویسیم.
x(t)=Acos(ωnt−ϕ)
(رابطه ۸)
ماهیت نوسان هارمونیک را می‌توان به صورت شماتیک و به شکل زیر (قسمت الف) نشان داد. اگر →A
، برداری با اندازه A باشد که نسبت به محور x، زاویه‌ای برابر ωnt−ϕ می‌سازد، رابطه ۸، به عنوان تصویر بردار →A روی محور x در نظر گرفته می‌شود. ثابت‌های A1 و A2 در رابطه ۵ که به صورت رابطه شماره ۷ تعریف شده‌اند، مؤلفه‌های بردار →A در راستای دو محور متعامدی هستند که نسبت به بردار →A، زاویه‌های ϕ و −(π2−ϕ)
را می‌سازند.

از آنجایی که زاویه ωnt−ϕ
تابعی خطی از زمان است، به صورت خطی با زمان افزایش می‌یابد. در نتیجه، تمام نمودار، با سرعت زاویه‌ای ωn و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت دوران می‌کند. با دوران نمودار (شکل الف)، تصویر بردار →A روی محور x به صورت هارمونیک تغییر می‌کند. بنابراین، زمانی که بردار →A زاویه‌ای برابر 2π را پشت سر بگذارد، حرکت تکرار می‌شود. تصویر بردار →A که آن را با x(t) نشان می‌دهیم، در نمودار شکل بالا به عنوان تابعی از ωnt
(قسمت ب) و تابعی از زمان (قسمت پ) رسم شده است. در سیستم جرم و فنر، چند نکته را باید مد نظر قرار داد.
الف) اگر ارتعاشات آزاد سیستم جرم و فنر در مسیر عمودی قرار داشته باشد، فرکانس طبیعی و ثابت فنر را می‌توان به ترتیب به صورت ωn=(km)1/2
و k=mgδst
تعریف کرد. از این رو، فرکانس طبیعی به صورت زیر بازنویسی می‌شود.
ωn=(gδst)1/2
اکنون می‌توانیم با کمک رابطه بالا، فرکانس طبیعی در واحد دور در ثانیه و همچنیندوره تناوب طبیعی را به شکل زیر نمایش دهیم.
fn=12π(gδst)1/2 τn=1fn=2π(δstg)1/2
بنابراین، هنگامی که جرم در مسیر افقی نوسان می‌کند، فقط با اندازه‌گیری جابجایی استاتیکی δst
می‌توان فرکانس طبیعی و دوره تناوب ارتعاشات آزاد را به دست آورد و نیازی به دانستن مقادیر k و m
نیست.
ب) با کمک رابطه ۸، سرعت ˙x(t)
و شتاب ¨x(t) جرم m در لحظه t
قابل محاسبه است.
˙x(t)=dxdt(t)=−ωnAsin(ωnt−ϕ)=ωnAcos(ωnt−ϕ+π2) ¨x(t)=d2xdt2(t)=−ω2nAcos(ωnt−ϕ)=ω2nAcos(ωnt−ϕ+π)
پ) اگر جابجایی اولیه x0
صفر باشد، پاسخ رابطه ۸ به صورت زیر ساده می‌شود.
xt=˙x0ωncos(ωnt−π2)=˙x0ωnsinωnt
اما اگر سرعت اولیه ˙x0
صفر  باشد، پاسخ به شکل زیر خواهد بود.
x(t)=x0sin(ωnt+π2) x(t)=x0cosωnt
ت) پاسخ سیستم یک درجه آزادی را می‌توانیم در صفحه جابجایی–سرعت بیان کنیم که به فضای حالت[/url] یا صفحه فاز معروف است. به این منظور، رابطه ۸ را در نظر بگیرید که به شیوه زیر نیز نوشته می‌شود.
cos(ωnt−ϕ)=xA
(رابطه ۹)
بامشتق گیری از این رابطه، معادله سرعت به صورت زیر است.
˙x(t)=−Aωnsin(ωnt−ϕ) sin(ωnt−ϕ)=−˙xAωn=−yA
(رابطه ۱۰)
در رابطه اخیر، y=˙xωn
برقرار است. اگر طرفین رابطه‌های ۹ و ۱۰ را به توان ۲ برسانیم، حاصل‌جمع آنها برابر با واحد خواهد بود.
cos2(ωnt−ϕ)+sin2(ωnt−ϕ)=1 x2A2+y2A2=1
(رابطه 11)
به شکل زیر توجه کنید. نمودار مربوط به رابطه ۱۱ در صفحه (y
و x)، یک دایره را نشان می‌دهد (قسمت الف) که بیان‌کننده صفحه فاز یا فضای حالت از ارتعاشات آزاد سیستم نامیرا است. شعاع دایره(A) با استفاده از شرایط اولیه حرکت به دست می‌آید. از سوی دیگر اگر نمودار رابطه ۱۱ را در صفحه (˙x و x
) رسم کنیم، شکل حاصل، یک بیضی (قسمت ب) خواهد بود.

مثال ۱ — پاسخ هارمونیک در ارتعاشات آزاد مخزن آب
سؤال: ستون مخزن آب نشان داده شده در شکل زیر، ارتفاعی به اندازه 300ft
دارد و از بتن مسلح ساخته شده است. قطر داخلی و خارجی سطح مقطع این ستون، به ترتیب 8ft و 10ft است. اگر وزن مخزن پر از آب، 6×105lb باشد، با صرف نظر از جرم ستون، موارد زیر را تعیین کنید.مدول یانگ را برای بتن مسلح 4×106psi
در نظر بگیرید.

الف) فرکانس طبیعی و دوره تناوب زمانی مربوط به ارتعاش عرضی مخزن آب
ب) پاسخ ارتعاشی مخزن آب ناشی از جابجایی عرضی اولیه به اندازه 10in
پ) ماکسیمم مقدار سرعت و شتاب مخزن آب
پاسخ: ابتدا مخزن آب را به عنوان جرم نقطه‌ای در نظر می‌گیریم. سطح مقطع ستون، یکنواخت و جرم آن، قابل صرف‌نظر کردن است. در نتیجه، سیستم را به صورت تیر یک سر گیردار مدل می‌کنیم. الف) با توجه به مطالب مندرج در مقالهتحلیل تنش وتغییر شکل در تیرها که قبلاً در مجله فرادرس منتشر شده است، جابجایی عرضی تیر δ
به دلیل اعمال بار P
به صورت زیر محاسبه می‌شود.
δ=Pl33EI
در رابطه بالا، E
مدول یانگ و I
ممان اینرسی مربوط به سطح مقطع تیر است. سفتی تیر (ستون مخزن) را می‌توان با کمک رابطه زیر به دست آورد.
k=Pδ=3EIl3
الف) در این مثال، ممان اینرسی سطح مقطع تیر و سفتی آن به صورت زیر است.
I=π64(d4o−d4i)=π64(1204−964)=600.9554×104in4 k=3(4×106)(600.9554×104)36003=1545.6672lb/in
برای محاسبه فرکانس و دوره تناوب طبیعی مخزن آب در ارتعاشات آزاد در جهت عرضی به طریق زیر عمل می‌کنیم.
ωn=√km=√1545.6672×386.46×105=0.9977rad/sec τn=2πωn=2π0.9977=6.2977sec
ب) هنگامی که جابجایی وسرعت اولیه به ترتیب برابر x0=10in
و ˙x0=0
باشد، پاسخ هارمونیک این سیستم در ارتعاشات آزاد به شیوه زیر محاسبه می‌شود.
x(t)=A0sin(ωnt+ϕ0)
از طرفی، می‌دانیم جابجایی عرضی (A0
) و زاویه فاز (ϕ0
) اولیه برابر با مقادیر زیر است.
A0=[x20+(˙x0ωn)2]1/2=x0=10in ϕ0=tan−1(x0ωn0)=π2
اکنون با جایگذاری مقادیر بالا، پاسخ ارتعاشی قابل محاسبه است.
x(t)=10sin(0.9977t+π2)=cos(0.9977t)in
پ) اگر از رابطه اخیر مشتق بگیریم، سرعت و سپس شتاب مخزن آب به راحتی به دست می‌آیند.
˙x(t)=10(0.9977)cos(0.9977t+π2) ˙xmax=A0ωn=10(0.9977)=9.977in/sec ¨x(t)=−10(0.9977)2sin(0.9977t+π2) ¨xmax=A0(ωn)2=10(0.9977)2=9.9540in/sec2
مثال ۲ — پاسخ ارتعاشات آزاد ناشی از ضربه
سؤال: جرم M
در انتهای آزاد تیر یک سر گیردار شکل زیر قرار دارد. جرم m بانیروی گرانش، از ارتفاع h روی جرم M
می‌افتد و به آن می‌چسبد. معادلات مربوط به ارتعاشات آزاد این سیستم را بنویسید.

پاسخ: هنگامی که جرم m
از ارتفاع h می‌افتد، با سرعتی برابر vm=√2gh به جرم M ضربه می‌زند. از آنجایی که در ادامه حرکت، جرم m به جرم M می‌چسبد، سرعت جرم ترکیبی M+m را بلافاصله پس از ضربه با ˙x0
نشان داده و با کمک رابطه زیر (پایستگی مومنتوم[url=https://blog.faradars.org/momentum/]) تعیین می‌کنیم.
mvm=(M+m)˙x0 ˙x0=(mM+m)vm=(mM+m)√2gh
موقعیت تعادل استاتیکی تیر با جرم جدید M+m
در فاصله mgk و در پایین موقعیت تعادل استاتیکی تیر با جرم M قرار دارد. پارامتر k سفتی تیر را نشان می‌دهد و با رابطه k=3EIl3
به دست می‌آید. از آنجایی که ارتعاشات آزاد تیر با جرم جدید، حول موقعیت تعادل استاتیکی خودش رخ می‌دهد، شرایط اولیه را می‌توان به گونه زیر نوشت.
x0=−mgk ˙x0=(mM+m)√2gh
در نتیجه، معادلات مربوط به ارتعاشات آزاد تیر به صورت زیر است.
x(t)=Acos(ωnt−ϕ) A=[x20+(˙x0ωn)2]1/2 ϕ=tan−1(˙x0x0ωn) ωn=√kM+m=√3EIl3(M+m)
مثال ۳ — فرکانس طبیعی مربوط به ارتعاشات آزاد اتاقک آتش‌نشانی
سؤال: اتاقک یک ماشین آتش‌نشانی، مطابق شکل زیر، در انتهای یک تیر تلسکوپی قرار گرفته است. اتاقک به همراه فرد آتش‌نشان، وزنی برابر 2000N
دارد. فرکانس طبیعی مربوط به ارتعاشات آزاد این اتاقک را در راستای عمودی بیابید. مدول یانگ مربوط به تیر، برابر E=2.1×1011N/m2 و طول تمام قسمت‌ها یکسان و به اندازه l1=l2=l3=3m است. مساحت مقاطع A1، A2 و A3 را به ترتیب برابر 20، 10 و 5
سانتی‌متر مربع در نظر بگیرید.

پاسخ: برای تعیین فرکانس طبیعی ارتعاشات در این سیستم، ابتدا باید سفتی معادل تیر را در راستای عمودی بیابیم و سپس مسأله را به عنوان حالت یک درجه آزادی حل کنیم. بدین منظور، فرض می‌کنیم جرم تیر تلسکوپی قابل صرف نظر کردن باشد. از آنجایی که نیروی انتقالی در هر سطح مقطع دلخواه O1O2
با نیروی محوری اعمال شده به انتهای تیر برابر است، سفتی محوری تیر را با kb
نشان داده و به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
1kb=1kb1+1kb2+1kb3
در رابطه بالا، kbi
سفتی محوری قسمت i
ام تیر را نشان می‌دهد و با رابطه زیر به دست می‌آید.
kbi=AiEili
با کمک اطلاعاتی که در صورت سؤال داده شده است، مقادیر مختلف سفتی به قرار زیر است.
kb1=(20×10−4)(2.1×1011)3=14×107N/m kb2=(10×10−4)(2.1×1011)3=7×107N/m kb3=(5×10−4)(2.1×1011)3=3.5×107N/m 1kb=114×107+17×107+13.5×107=12×107 ⇒   kb=2×107N/m
اکنون به محاسبه سفتی تیر تلسکوپی (k
) در راستای عمودی می‌پردازیم و با استفاده از آن، فرکانس طبیعی اتاقک را در این راستا به دست خواهیم آورد.
k=kbcos2(45∘)=107N/m ωn=√km=√(107)(9.81)2000=221.4723rad/s