14-08-2020, 02:42 PM
صورت و مخرج رابطه بالا (مولفه x مرکز جرم) برای مجموعه اجسام نشان داده شده، به شکل زیر محاسبه می‌شود.
![[تصویر: Centre-of-Mass-21.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-21.png)
مشابه روندی که برای مولفه x مرکز جرم در بالا طی شد، مولفه y مرکز جرم نیز قابل محاسبه است. این مولفه با استفاده از روندی که در ادامه بیان می‌شود، به دست می‌آید.
![[تصویر: Centre-of-Mass-22.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-22.png)
صورت و مخرج رابطه بالا (مولفه y مرکز جرم) برای مجموعه اجسام نشان داده شده، به شکل زیر محاسبه می‌شود.
![[تصویر: Centre-of-Mass-23.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-23.png)
![[تصویر: Centre-of-Mass-24.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-24.png)
زوایای نشان داده شده در روابط بالا، همان زوایایی است که شکل این مثال بیان شدند.
بنابراین در مجموع با استفاده از روابط نشان داده شده، فرم نهایی مختصات مکان مرکز جرم به شکل زیر نشان داده می‌شود.
![[تصویر: Centre-of-Mass-25.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-25.png)
![[تصویر: Centre-of-Mass-26.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-26.png)
مرکز جرم اجسام پیوسته
مرکز جرم یک جسم با چگالی یکنواخت را می‌توان به صورت کلی با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.
![[تصویر: Centre-of-Mass-27.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-27.png)
رابطه 7
در این رابطه، ρ چگالی جسم را نمایش می‌دهد و V نشان دهنده حجم جسم مورد نظر است. نکته‌ای که باید به آن اشاره کرد این است که زمانی که چگالی یکنواخت باشد، به عنوان یک ثابت از عبارت انتگرالی فوق خارج می‌شود.
در صورتی که چگالی جسم یکنواخت نباشید و مقدار آن در مکان‌های مختلف متفاوت باشد، رابطه انتگرالی فوق به شکل زیر بازنویسی می‌شود.
![[تصویر: Centre-of-Mass28.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass28.png)
رابطه ۸
زمانی که شتاب گرانش در محیط به صورت یکسان در نظر گرفته شود، مرکز جرم و «مرکز گرانش» (Centre of Gravity) یکسان خواهند بود. در این حالت می‌توان فرض کرد که مرکز جرم، مکانی از جسم است که اگر تکیه‌گاه را زیر آن نقطه قرار دهیم جسم در حالت تعادل باقی خواهد ماند. در این حالت، گشتاور‌های ساعتگرد و پادساعتگرد حول تکیه‌گاه یکسان خواهند بود.
نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که در مسائل مختلف، می‌توان کل جرم جسم را روی مرکز جرم آن جسم متصور شد. بنابراین با استفاده از این کار، محاسبات به فرم بسیار ساده‌تری در می‌آیند.
به عنوان مثال میله‌ای با چگالی M/L را مطابق شکل زیر در نظر بگیرد. در این رابطه M، جرم کلی میله و L، طول آن را نمایش می‌دهد.
![[تصویر: Centre-of-Mass29.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass29.jpg)
در این شرایط می‌توان میله را با یک نقطه به جرم M نمایش داد که در نقطه‌ای با مختصات r قرار گرفته است و r مکان مرکز جرم این میله را نشان می‌دهد. در شرایطی که میله چگالی یکنواخت دارد، مرکز جرم (فاصله r) در فاصله‌ای برابر با نصف طول میله (r = L/2) قرار می‌گیرد. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.
![[تصویر: Centre-of-Mass30.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass30.jpg)
مرکز جرم این میله با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه است. ابتدا گشتاور وزن نقطه‌ای که نماینده میله است (شکل بالا) را حول مبدا مختصات می‌نویسیم و مقدار آن را با گشتاور وزن کل میله حوله مبدا مختصات برابر قرار می‌دهیم. این موضوع در رابطه زیر نمایش داده شده است.
![[تصویر: Centre-of-Mass33.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass33.png)
از آنجایی که چگالی در این مثال برابر با M/L بیان شده است، می‌توان نتیجه گرفت که مرکز جرم از رابطه بالا برابر با r = L/2 به دست می‌آید.
تفاوت مرکز جرم و مرکز گرانش
بسیاری از افراد تصور می‌کنند که مرکز جرم و مرکز گرانش، دو مفهوم یکسان هستند، در حالی که این تصوری اشتباه است. در واقع همانطور که اشاره شد، مرکز جرم، نقطه‌ای است که جرم جسم در آن نقطه در حالت تعادل قرار دارد و به میدان گرانش بستگی ندارد.
مرکز گرانش نیز نقطه‌ای را نشان می‌دهد که گشتاور وزن جسم در جهت ساعتگرد و پادساعتگرد حول آن نقطه، یکسان هستند. در واقع اگر یک تکیه‌گاه را در نقطه مرکز گرانش یک جسم قرار دهیم، جسم در حالت تعادل قرار می‌گیرد و دوران نمی‌کند.
نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که اگر میدان گرانش به صورت یکنواخت حضور داشته باشد، مرکز گرانش و جرم یک جسم در نقطه یکسانی قرار می‌گیرند. در واقع در بسیاری از مسائل رایج، این موضوع برقرار است و با تقریب خوبی می‌توان مکان این دو نقطه را یکسان در نظر گرفت ولی توجه کنید که مفهوم و تعریف آن‌ها یکسان نیست.
حالتی را در نظر بگیرید که در آن، میدان گرانش در پاهای شما قوی‌تر از مقدار آن در قمست سر شما باشد. در این حالت، مرکز گرانش شما در نقطه‌ای پایین‌تر از مرکز جرم شما قرار دارد. در حالت برعکس، یعنی زمانی که میدان گرانش طوری توزیع شده باشد که مقدار آن در ناحیه سر شما بیشتر از پاهای شما باشد، مرکز گرانش شما بالاتر از مرکز جرمتان قرار خواهد گرفت.
این موضوع در شکل زیر به تصویر کشده شده است. در شکل سمت چپ، جسم نشان داده شده، یک میدان گرانش یکنواخت را تجربه می‌کند و میدان گرانش و جرم این جسم روی یکدیگر قرار گرفته‌اند. در شکل سمت راست، میدان گرانش در پایین جسم قوی‌تر از مقدار آن در بالای جسم است و در نتیجه مرکز گرانش در نقطه‌ای پایین‌تر از مرکز جرم قرار می‌گیرد.
![[تصویر: Centre-of-Mass34.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass34.png)
مرکز جرم و مرکز گرانش
همانطور که اشاره شد، مرکز جرم مکانی است که در آن، مجموع گشتاور جرم‌ها در جهت عقربه‌های ساعت حول نقطه مرکز جرم برابر با مجموع گشتاور‌ها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت، حول آن نقطه است و می‌توان این نقطه را مکانی در نظر گرفت که جسم، در آن نقطه، در حالت تعادل قرار دارد.
این مطلب ابتدا مفهوم مرکز جرم و رابطه کلی آن را مورد مطالعه قرار داده است. سپس مفهوم تقارن و انواع آن، برای یافتن مکان مرکز جرم یک جسم، بدون انجام محاسبات ریاضی، ارزیابی شدند. در ادامه، رابطه‌ای بیان شد که به کمک آن، مکان مرکز جرم چند جسم که روی یک خط یا موقعیت‌های مختلفی قرار دارند، قابل محاسبه است. پس از آن، رابطه مرکز جرم برای اجسام پیوسته با چگالی یکنواخت و متغیر بیان شد و در نهایت تفاوت دو مفهوم اساسی یعنی مرکز گرانش و جرم مورد بررسی قرار گرفت.
مشابه روندی که برای مولفه x مرکز جرم در بالا طی شد، مولفه y مرکز جرم نیز قابل محاسبه است. این مولفه با استفاده از روندی که در ادامه بیان می‌شود، به دست می‌آید.
صورت و مخرج رابطه بالا (مولفه y مرکز جرم) برای مجموعه اجسام نشان داده شده، به شکل زیر محاسبه می‌شود.
زوایای نشان داده شده در روابط بالا، همان زوایایی است که شکل این مثال بیان شدند.
بنابراین در مجموع با استفاده از روابط نشان داده شده، فرم نهایی مختصات مکان مرکز جرم به شکل زیر نشان داده می‌شود.
مرکز جرم اجسام پیوسته
مرکز جرم یک جسم با چگالی یکنواخت را می‌توان به صورت کلی با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.
رابطه 7در این رابطه، ρ چگالی جسم را نمایش می‌دهد و V نشان دهنده حجم جسم مورد نظر است. نکته‌ای که باید به آن اشاره کرد این است که زمانی که چگالی یکنواخت باشد، به عنوان یک ثابت از عبارت انتگرالی فوق خارج می‌شود.
در صورتی که چگالی جسم یکنواخت نباشید و مقدار آن در مکان‌های مختلف متفاوت باشد، رابطه انتگرالی فوق به شکل زیر بازنویسی می‌شود.
رابطه ۸زمانی که شتاب گرانش در محیط به صورت یکسان در نظر گرفته شود، مرکز جرم و «مرکز گرانش» (Centre of Gravity) یکسان خواهند بود. در این حالت می‌توان فرض کرد که مرکز جرم، مکانی از جسم است که اگر تکیه‌گاه را زیر آن نقطه قرار دهیم جسم در حالت تعادل باقی خواهد ماند. در این حالت، گشتاور‌های ساعتگرد و پادساعتگرد حول تکیه‌گاه یکسان خواهند بود.
نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که در مسائل مختلف، می‌توان کل جرم جسم را روی مرکز جرم آن جسم متصور شد. بنابراین با استفاده از این کار، محاسبات به فرم بسیار ساده‌تری در می‌آیند.
به عنوان مثال میله‌ای با چگالی M/L را مطابق شکل زیر در نظر بگیرد. در این رابطه M، جرم کلی میله و L، طول آن را نمایش می‌دهد.
در این شرایط می‌توان میله را با یک نقطه به جرم M نمایش داد که در نقطه‌ای با مختصات r قرار گرفته است و r مکان مرکز جرم این میله را نشان می‌دهد. در شرایطی که میله چگالی یکنواخت دارد، مرکز جرم (فاصله r) در فاصله‌ای برابر با نصف طول میله (r = L/2) قرار می‌گیرد. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.
مرکز جرم این میله با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه است. ابتدا گشتاور وزن نقطه‌ای که نماینده میله است (شکل بالا) را حول مبدا مختصات می‌نویسیم و مقدار آن را با گشتاور وزن کل میله حوله مبدا مختصات برابر قرار می‌دهیم. این موضوع در رابطه زیر نمایش داده شده است.
از آنجایی که چگالی در این مثال برابر با M/L بیان شده است، می‌توان نتیجه گرفت که مرکز جرم از رابطه بالا برابر با r = L/2 به دست می‌آید.
تفاوت مرکز جرم و مرکز گرانش
بسیاری از افراد تصور می‌کنند که مرکز جرم و مرکز گرانش، دو مفهوم یکسان هستند، در حالی که این تصوری اشتباه است. در واقع همانطور که اشاره شد، مرکز جرم، نقطه‌ای است که جرم جسم در آن نقطه در حالت تعادل قرار دارد و به میدان گرانش بستگی ندارد.
مرکز گرانش نیز نقطه‌ای را نشان می‌دهد که گشتاور وزن جسم در جهت ساعتگرد و پادساعتگرد حول آن نقطه، یکسان هستند. در واقع اگر یک تکیه‌گاه را در نقطه مرکز گرانش یک جسم قرار دهیم، جسم در حالت تعادل قرار می‌گیرد و دوران نمی‌کند.
نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که اگر میدان گرانش به صورت یکنواخت حضور داشته باشد، مرکز گرانش و جرم یک جسم در نقطه یکسانی قرار می‌گیرند. در واقع در بسیاری از مسائل رایج، این موضوع برقرار است و با تقریب خوبی می‌توان مکان این دو نقطه را یکسان در نظر گرفت ولی توجه کنید که مفهوم و تعریف آن‌ها یکسان نیست.
حالتی را در نظر بگیرید که در آن، میدان گرانش در پاهای شما قوی‌تر از مقدار آن در قمست سر شما باشد. در این حالت، مرکز گرانش شما در نقطه‌ای پایین‌تر از مرکز جرم شما قرار دارد. در حالت برعکس، یعنی زمانی که میدان گرانش طوری توزیع شده باشد که مقدار آن در ناحیه سر شما بیشتر از پاهای شما باشد، مرکز گرانش شما بالاتر از مرکز جرمتان قرار خواهد گرفت.
این موضوع در شکل زیر به تصویر کشده شده است. در شکل سمت چپ، جسم نشان داده شده، یک میدان گرانش یکنواخت را تجربه می‌کند و میدان گرانش و جرم این جسم روی یکدیگر قرار گرفته‌اند. در شکل سمت راست، میدان گرانش در پایین جسم قوی‌تر از مقدار آن در بالای جسم است و در نتیجه مرکز گرانش در نقطه‌ای پایین‌تر از مرکز جرم قرار می‌گیرد.
مرکز جرم و مرکز گرانشهمانطور که اشاره شد، مرکز جرم مکانی است که در آن، مجموع گشتاور جرم‌ها در جهت عقربه‌های ساعت حول نقطه مرکز جرم برابر با مجموع گشتاور‌ها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت، حول آن نقطه است و می‌توان این نقطه را مکانی در نظر گرفت که جسم، در آن نقطه، در حالت تعادل قرار دارد.
این مطلب ابتدا مفهوم مرکز جرم و رابطه کلی آن را مورد مطالعه قرار داده است. سپس مفهوم تقارن و انواع آن، برای یافتن مکان مرکز جرم یک جسم، بدون انجام محاسبات ریاضی، ارزیابی شدند. در ادامه، رابطه‌ای بیان شد که به کمک آن، مکان مرکز جرم چند جسم که روی یک خط یا موقعیت‌های مختلفی قرار دارند، قابل محاسبه است. پس از آن، رابطه مرکز جرم برای اجسام پیوسته با چگالی یکنواخت و متغیر بیان شد و در نهایت تفاوت دو مفهوم اساسی یعنی مرکز گرانش و جرم مورد بررسی قرار گرفت.