ارتعاشات آزاد سیستم نامیرا

[amir315hossein]

در این مقاله قصد داریم به ارتعاشات آزاد سیستم‌های نامیرا بپردازیم. بدین منظور با روندی که به صورت فهرست‌وار در ادامه خواهید دید، با استفاده از قانون دوم نیوتن، معادلات حرکت را استخراج خواهیم کرد.

[list]
[*]ابتدا یک دستگاه مختصات مناسب برای تشریح موقعیت جرم یا جسم صلب انتخاب می‌کنیم. برای حرکت انتقالی یک جرم نقطه‌ای یا مرکز جرم یک جسم صلب، از دستگاه مختصات خطی و برای تشریح حرکت زاویه‌ای یک جسم صلب، از دستگاه مختصات زاویه‌ای استفاده خواهیم کرد.
[*]سپس موقعیت تعادل استاتیکی سیستم را مشخص کرده، جابجایی جرم یا جسم صلب را نسبت به آن محاسبه می‌کنیم.
[*]برای حالتی که جابجایی یا سرعت به سیستم اعمال شده باشد، نمودار جسم آزاد آن را ترسیم می‌کنیم. اکنون، نوبت به مشخص کردن تمام نیروهای عمل و عکس‌العمل وارد به جرم یا جسم صلب می‌رسد.
[*]در پایان، قانون دوم حرکت نیوتون[/url] را به نمودار جسم آزاد اعمال می‌کنیم که عبارت است از اینکه «نرخ تغییرات ممنتوم یک جرم با نیروی وارد به آن جرم برابر باشد.»
[/list]
معادله حرکت ارتعاشات آزاد سیستم جرم و فنر

مطابق توضیحاتی که تا به اینجا ارائه شد، اگر نیروی →F(t)
به جرم m وارد شود و آن را در جهت نیرو و به اندازه فاصله →x(t)
جابجا کند، قانون دوم نیوتن به صورت زیر نوشته می‌شود.

→F(t)=ddt(md→x(t)dt)

اگر جرم m
ثابت باشد، رابطه بالا به صورت زیر در خواهد آمد.
→F(t)=md2→x(t)dt2=m¨→x
(رابطه ۱)
در رابطه بالا، ¨→x=d2→x(t)dt2
شتاب جرم m
را نشان می‌دهد. برای جسم صلبی که حرکت دورانی دارد، قانون نیوتن به صورت زیر است.
−→M(t)=J¨→θ
(رابطه ۲)
در رابطه ۲، −→M
گشتاور اعمال شده به جسم صلب و →θ و ¨→θ=d2θ(t)dt2
نیز به ترتیب، جابجایی زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ای آن هستند. رابطه‌های ۱ و ۲، معادلات حرکت سیستم در حالت ارتعاشات آزاد را نشان می‌دهند. اکنون، سیستم یک درجه آزادی و نامیرای نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید.

جرم m
روی تکیه‌گاهی از نوع غلتکی و بدون اصطکاک است و آزادانه در جهت افقی حرکت انتقالی دارد. هنگامی که جرم نسبت به موقعیت تعادل استاتیکی‌اش، به اندازه +x جابجا شود، نیروی فنر برابر kx
خواهد بود. استفاده از رابطه ۱ برای این جرم، به معادله زیر منجر می‌شود.

F(t)=−kx=m¨x m¨x+kx=0
(رابطه ۳)
برای استخراج معادله حرکت سیستمی که ارتعاشات آزاد دارد، چندین روش وجود دارد که از بین آنها می‌توان به قضیه دالامبر[url=https://blog.faradars.org/%D8%A7%D8%B5%D9%84-%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%A8%D8%B1/]، اصل جابجایی مجازی و قانون پایستگی انرژی اشاره کرد.
ارتعاشات آزاد سیستم جرم و فنر در جهت قائم
سیستم جرم و فنر نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. جرم m
از پایین‌ترین نقطه فنر آویزان است. انتهای دیگر فنر را به یک تکیه‌گاه صلب متصل کرده‌ایم. در حالت سکون، جرم در موقعیت تعادل استاتیکی قرار دارد. در این حالت، نیروی گرانش وارد به جرم m، دقیقاً با نیروی کشش فنر که از طرف جرم و به سمت بالا وارد می‌شود، برابر است. در نقطه تعادل استاتیکی، فنر به اندازه l0+δst کشیده می‌شود، که δst برابر با جابجایی استاتیکی ناشی از وزن W
است. با دقت در شکل، تعادل استاتیکی را می‌توان به صورت زیر نوشت.

W=mg=kδst
حال، جرم m
را نسبت به این وضعیت تعادل به اندازه +x جابجا می‌کنیم (شکل ب). در این حالت، نیروی کشش فنر به مقدار −k(x+δst)
می‌رسد. با استفاده از قانون دوم نیوتن، روابط زیر به دست می‌آید.
m¨x=−k(x+δst)+W kδst=W ⇒   m¨x+kx=0
همان‌طور که مشاهده می‌کنید نتیجه به دست آمده، مشابه رابطه ۳ است. به عبارت دیگر، هنگام بررسی ارتعاشات آزاد جرمی که در راستای قائم حرکت می‌کند، می‌توانیم از وزن آن صرف نظر کنیم. زیرا معادلات حرکت را نسبت به تعادل استاتیکی آن سیستم می‌نویسیم.


در ادامه به حل رابطه ۳ می‌پردازیم.
x(t)=Cest
در این رابطه، C
و s
ثابت هستند و مقدارشان باید مشخص شود. رابطه بالا را در رابطه شماره ۳ جایگذاری می‌کنیم.
C(ms2+k)=0 C≠0 ⇒ms2+k=0
(رابطه ۴)
s=±(−km)1/2=±iωn i=(−1)1/2 ⇒ωn=(km)1/2
رابطه ۴ را معادله مشخصه یا معادله کمکی مربوط به رابطه ۳ می‌نامند. دو مقدار به دست آمده برای s
، ریشه‌های معادله مشخصه هستند که تحت عنوان مقادیر مشخصه یا مقادیر ویژه شناخته می‌شوند. از آنجایی که هر دو مقدار s
، در رابطه ۴ صدق می‌کنند، پاسخ عمومی رابطه شماره ۳ را می‌توان به صورت زیر نشان داد.
x(t)=C1eiωnt+C2e−iωnt
با استفاده از فرمول اویلر که به صورت زیر تعریف می‌شود، می‌توانیم رابطه بالا را بازنویسی کنیم.
e±iαt=cosαt±isinαt x(t)=A1cosωnt+A2sinωnt

(رابطه ۵)
ثابت‌های C1
و C2 یا ثابت‌های جدید A1 و A2 را می‌توان با کمک شرایط اولیه سیستم، تعیین کرد. برای مشخص شدن هر دو ثابت، دو شرط اولیه مختلف مورد نیاز است. در اینجا، اگر مقادیر جابجایی x(t) و سرعت ˙x(t)=(dxdt)(t) را در لحظه t=0، به ترتیب x0 و ˙x0
بنامیم، با کمک رابطه ۵ می‌توانیم به نتایج زیر برسیم.
x(t=0)=A1=x0 ˙x(t=0)=ωnA2=˙x0
در نتیجه، ضرایب ثابت به صورت A1=x0
و A2=˙x0/ωn
به دست می‌آید. حال، می‌توانیم رابطه ۳ را به شیوه زیر بازنویسی کنیم.
x(t)=x0cosωnt+˙x0ωnsinωnt
(رابطه 6)