14-08-2020, 02:12 PM
در حالت کلی ارتعاشات به دو دسته آزاد و اجباری تقسیم‌بندی می‌شوند. اکنون و در ادامه در مورد نوع دیگری از ارتعاشات صحبت خواهد شد که در واقعیت بیشتر با آن مواجه هستیم.
منبع ارتعاشات می‌تواند یک نیروی ثابت و یا نیرویی باشد که به صورت متغیر به سیستم وارد می‌شود. در این حالت ارتعاشات از نوع اجباری است. در بخش اول،معادله دیفرانسیل مربوط به یک سیستم جرم و فنر را حل کردیم. این معادله در پایین ذکر شده است. در آن حالت، عبارت سمت راست معادله ((F(t) برابر با صفر در نظر گرفته شد. در این بخش قصد داریم تا در مورد حالتی صحبت کنیم که عبارت مذکور غیرصفر باشد. از نظر فیزیکی یعنی اینکه نیرویی هارمونیک، به سیستم در حال ارتعاش وارد می‌شود. معادله مرتبط با چنین سیستمی به‌صورت زیر است.
![[تصویر: 11-1.jpg]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/11-1.jpg)
در عمل این حالت معمولاً در شرایط زیر اتفاق خواهد افتاد.
[list=1]
[*]اعمال نیروی خارجی متغیر
[*]جابجایی نوسانی پایه سیستم
[*]نیروی ناشی از دوران جرمی که روی سیستم قرار گرفته
[/list]این حالات در شکل‌های زیر نشان داده شده‌اند.
![[تصویر: 22-1.jpg]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/22-1.jpg)
توجه داشته باشید در فرضیاتی که در این بخش انجام خواهیم داد، تحریکات صورت گرفته به‌شکل هارمونیک در نظر گرفته خواهند شد. به عنوان نمونه در حالتی که نیروی خارجی متغیر به سیستم وارد می‌شود، آن را به‌صورت در نظر می‌گیریم.
![[تصویر: 33-1.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/33-1.gif)
یا در حالتی که بستر سیستم در حال نوسان باشد، تغییرات آن، در قالب فرمول زیر بیان می‌شود.
![[تصویر: 44.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/44.gif)
هم‌چنین در تمامی این مدل‌سازی‌ها جابجایی و سرعت اولیه، به عنوان شرایط اولیه و به شکل زیر در نظر گرفته می‌شوند.
![[تصویر: 55.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/55.gif)
معادلات حرکت برای ارتعاش اجباری سیستم جرم و فنر
در این قسمت معادلات مربوط به ارتعاش اجباری را در سه حالت مختلف مورد بررسی قرار می‌دهیم.
1- اعمال نیروی خارجی متغیر
در بخش اول، معادلاتی را تحلیل می‌کنیم که در آن، سیستم جرم و فنر تحت تاثیر یک نیروی متغیر خارجی قرار گرفته است. شکل زیر نیروهای وارد شده به چنین سیستمی را نشان می‌دهد. با توجه به این نیروها قانون دوم نیوتن برای جرم m به‌صورت زیر بیان می‌شود.
![[تصویر: spring-mass-1.png]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/spring-mass-1.png)
![[تصویر: 66.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/66.gif)
به منظور ساده‌سازی، این معادله را به شکل زیر مرتب می‌کنیم.
![[تصویر: 77.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/77.gif)
این رابطه یک معادله دیفرانسیل ODE از مرتبه دوم است. ابتدا به ساکن به منظور حل این معادله، متغیرهای زیر را تعریف می‌کنیم.
![[تصویر: 88.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/88.gif)
با توجه به مقادیر تعریف شده، معادله مفروض را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:
![[تصویر: 99.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/99.gif)
معادله بالا شکل نهایی رابطه سیستم جرم و فنری است که نیروی متغیر (F(t به آن وارد می‌شود. در ادامه در مورد نحوه حل این معادله بحث خواهیم کرد.
2- پایه متحرک
مطابق شکل زیر سیستمی را در نظر بگیرید که پایه آن با الگوی مشخصی نوسان می‌کند. این نوسان، منجر به ایجاد نیرویی دوره‌ای خواهد شد که به سیستم وارد می‌شود. توجه داشته باشید که در این حالت، مقدار تغییر طول خالص فنر، برابر با (x-y) و نیروی ایجاد شده در فنر برابر با k˙x−˙y
است. با مشتق گیری از این تغییر طول نسبت به زمان، سرعت تغییر برابر با ˙x−˙y
به‌دست می‌آید. بنابراین قانون دوم نیوتن را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.
![[تصویر: base-vibration.jpg]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/base-vibration.jpg)
![[تصویر: 1010.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/1010.gif)
در ادامه به‌منظور آسان کردن حل مسئله، ثابت‌های زیر تعریف می‌شوند.
منبع ارتعاشات می‌تواند یک نیروی ثابت و یا نیرویی باشد که به صورت متغیر به سیستم وارد می‌شود. در این حالت ارتعاشات از نوع اجباری است. در بخش اول،معادله دیفرانسیل مربوط به یک سیستم جرم و فنر را حل کردیم. این معادله در پایین ذکر شده است. در آن حالت، عبارت سمت راست معادله ((F(t) برابر با صفر در نظر گرفته شد. در این بخش قصد داریم تا در مورد حالتی صحبت کنیم که عبارت مذکور غیرصفر باشد. از نظر فیزیکی یعنی اینکه نیرویی هارمونیک، به سیستم در حال ارتعاش وارد می‌شود. معادله مرتبط با چنین سیستمی به‌صورت زیر است.
در عمل این حالت معمولاً در شرایط زیر اتفاق خواهد افتاد.
[list=1]
[*]اعمال نیروی خارجی متغیر
[*]جابجایی نوسانی پایه سیستم
[*]نیروی ناشی از دوران جرمی که روی سیستم قرار گرفته
[/list]این حالات در شکل‌های زیر نشان داده شده‌اند.
توجه داشته باشید در فرضیاتی که در این بخش انجام خواهیم داد، تحریکات صورت گرفته به‌شکل هارمونیک در نظر گرفته خواهند شد. به عنوان نمونه در حالتی که نیروی خارجی متغیر به سیستم وارد می‌شود، آن را به‌صورت در نظر می‌گیریم.
یا در حالتی که بستر سیستم در حال نوسان باشد، تغییرات آن، در قالب فرمول زیر بیان می‌شود.
هم‌چنین در تمامی این مدل‌سازی‌ها جابجایی و سرعت اولیه، به عنوان شرایط اولیه و به شکل زیر در نظر گرفته می‌شوند.
معادلات حرکت برای ارتعاش اجباری سیستم جرم و فنر
در این قسمت معادلات مربوط به ارتعاش اجباری را در سه حالت مختلف مورد بررسی قرار می‌دهیم.
1- اعمال نیروی خارجی متغیر
در بخش اول، معادلاتی را تحلیل می‌کنیم که در آن، سیستم جرم و فنر تحت تاثیر یک نیروی متغیر خارجی قرار گرفته است. شکل زیر نیروهای وارد شده به چنین سیستمی را نشان می‌دهد. با توجه به این نیروها قانون دوم نیوتن برای جرم m به‌صورت زیر بیان می‌شود.
به منظور ساده‌سازی، این معادله را به شکل زیر مرتب می‌کنیم.
این رابطه یک معادله دیفرانسیل ODE از مرتبه دوم است. ابتدا به ساکن به منظور حل این معادله، متغیرهای زیر را تعریف می‌کنیم.
با توجه به مقادیر تعریف شده، معادله مفروض را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:
معادله بالا شکل نهایی رابطه سیستم جرم و فنری است که نیروی متغیر (F(t به آن وارد می‌شود. در ادامه در مورد نحوه حل این معادله بحث خواهیم کرد.
2- پایه متحرک
مطابق شکل زیر سیستمی را در نظر بگیرید که پایه آن با الگوی مشخصی نوسان می‌کند. این نوسان، منجر به ایجاد نیرویی دوره‌ای خواهد شد که به سیستم وارد می‌شود. توجه داشته باشید که در این حالت، مقدار تغییر طول خالص فنر، برابر با (x-y) و نیروی ایجاد شده در فنر برابر با k˙x−˙y
است. با مشتق گیری از این تغییر طول نسبت به زمان، سرعت تغییر برابر با ˙x−˙y
به‌دست می‌آید. بنابراین قانون دوم نیوتن را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.
در ادامه به‌منظور آسان کردن حل مسئله، ثابت‌های زیر تعریف می‌شوند.