24-08-2020, 08:40 PM
معادله با مشتقات جزئی
مدل ریاضی که در ابتدای این مطلب مورد مطالعه قرار گرفت، تنها رابطه میان پارامترهای موجود در فرایند را به صورت مستقیم و غیر مستقیم در اختیار ما قرار می‌دهد. این در حالی است که هر ترم موجود در این روابط، تاثیر مستقیمی روی پدیده فیزیکی دارد. بنابراین تغییر این پارامترها باید به صورت همزمان در حل عددی و به صورت مجموعه‌ای از معادلات با مشتق‌های جزئی در نظر گرفته شود.
به صورت کلی می‌توان بیان کرد که اگر یک تابع شامل چند متغیر مستقل باشد، مشتق آن به صورت مشتق جزئی بیان می‌شود. در واقع مشتق جزئی و شیوه حل معادلات آن، یکی از مباحث بسیار مهمی است که به عنوان پیش نیاز برای انجام محاسبات دینامیک سیالات محاسباتی در نظر گرفته می‌شود.
در مسیر حل «سی اف دی» (CFD) و زمانی که معادله را به صورت یک مشتق جزئی بیان کردیم، می‌توانیم آن را با استفاده از روش‌های مختلف حل کنیم. توجه کنید که در معادله ناویر استوکس با توجه به حضور ترم غیر خطی، امکان حل صریح وجود ندارد و رابطه آن با استفاده از یک حل عددی قابل حل است.
در مکانیک سیالات، مسائلی مانند جریان کوئت[/url] وپواری حضور دارند که معادله ناویر استوکس در آن‌ها حل دقیق دارد. به این حل دقیق، حل تحلیلی نیز گفته می‌شود. اما باید توجه کرد که در حالت کلی و مسائل پیچیده مانند اکثر مسائل توربو ماشین وآیرودینامیک، معادله ناویر استوکس حل دقیق و تحلیلی ندارد و برای یافتن پارامترهای مختلف میدان جریان باید معادله را به صورت عددی مورد مطالعه قرار داد.
همانطور که در بالا اشاره شد، برای حل مسائل پیچیده نیاز به اجرای روش‌های مختلف عددی و گسسته‌سازی معادلات داریم. برخی از این روش‌ها شامل روش تفاضل محدود» (Finite Difference)، حجم محدود[url=https://blog.faradars.org/finite-volume-method/]» (Finite Volume)، «المان محدود» (Finite Element)، «روش اسپکترال» (Spectral Method) و «روش المان مرزی» (Boundary Element Method) هستند.
بنابراین به صورت کلی روند حل یک مسئله در دینامیک سیالات محاسباتی این است که ابتدا با استفاده از قوانین فیزیکی، یک مدل ریاضی از مسئله فیزیکی خود تولید می‌کنیم. در ادامه با انجام گسسته سازی، معادلات ریاضی را به دست می‌آوریم و سپس این معادلات را حل می‌کنیم. این روند در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.
![[تصویر: computational-fluid-dynamics11.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/computational-fluid-dynamics11.jpg)
شکل ۶: روند کلی انجام یک شبیه‌سازی عددی در دینامیک سیالات محاسباتی
شبکه حل
در دینامیک سیالات محاسباتی، برای انجام محاسبات، «ناحیه» (Domain) حل، به چند «زیر ناحیه» (Sub-Domain) تقسیم می‌شود. این زیر ناحیه‌ها، «سلول» (Cell) نامیده می‌شوند. به صورت کلی نیز می‌توان بیان کرد که مجموع این سلول‌ها یک شبکه را تشکیل می‌دهند. شبکه را در ادبیات علمی مهندسی مکانیک، «مش» (Mesh) نیز می‌نامند.
شکل زیر، شبکه حل و مش اطراف یک اتومبیل فرمول یک را به تصویر کشیده است. همانطور که مشاهده می‌شود، شبکه حل در نزدیکی این اتومبیل که تغییرات اندازه و جهت بردار سرعت مقادیر زیادی دارد، ریز است و زمانی که از اتومبیل فاصله می‌گیریم اندازه شبکه درشت می‌شود. در واقع در نقاطی که تغییرات در میدان جریان کم است، اندازه شبکه بزرگ در نظر گرفته می‌شود. بنابراین توجه کنید که میزان تغییرات و حساسیت حل، سایز شبکه و مش را در نقاط مختلف ناحیه تعیین می‌کند.
![[تصویر: computational-fluid-dynamics12.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/computational-fluid-dynamics12.jpg)
شکل ۷: شبکه حل اطراف یک اتومبیل فرمول یک
در واقع همانطور که بیان شد، شبکه حل، روند شبیه‌سازی جریان را ساده می‌کند و امکان به دست آوردن پاسخ معادلات ناویر استوکس-پیوستگی و انرژی را با استفاده از روش عددی فراهم می‌سازد ولی از آن‌جایی که در این معادلات، مشتق‌های جزئی حضور دارند، اگر در قسمتی از حل، شبکه بزرگ و تغییرات پارامترهای سیال زیاد باشد، گسسته‌سازی معادلات به درستی صورت نخواهد گرفت و معادله گسسته شده نماینده درستی از جریان واقعی سیال نخواهد بود.
بنابراین همانطور که توضیح داده شد، در نواحی که تغییرات جریان شدید است، مانند دیواره‌ها، اندازه شبکه و مش به صورت ریز انتخاب می‌شود. روندی که در دینامیک سیالات محاسباتی برای محاسبه اندازه شبکه انتخاب می‌شود، تحت عنوان «استقلال از شبکه» (Mesh Independency) و «آنالیز همگرایی شبکه» (Mesh Convergence Analysis) شناخته می‌شود.
استقلال حل از شبکه
مسائلی که در بخش قبل در مورد شبکه حل بیان شد، مسائل بسیار مهمی هستند. بنابراین توجه کنید که وقتی خطای زیادی در شبکه وجود داشته باشد، شبیه‌سازی درستی انجام نخواهد شد و روند حل عددی معادلات با شکست مواجه می‌شود.
به منظور توضیح دقیق اثر گذاری سایز شبکه در نتایج نهایی، در ادامه یک مثال آورده می‌شود. این مثال می‌تواند فهم دقیق و عمیقی از تاثیر اندازه شبکه در اختیار ما قرار دهد. بر این اساس حالتی را در نظر بگیرید که طول هر المان شبکه برابر با 2h و تغییرات تابع مورد نظر ما (مانند سرعت) در طول مکان به شکل زیر رسم شده است.
![[تصویر: computational-fluid-dynamics14.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/computational-fluid-dynamics14.jpg)
شکل ۸: تبدیل محیط پیوسته به گسسته با استفاده از شبکه
همانطور که مشاهده می‌شود، گسسته سازی معادلات در یک شبکه که طول المان شبکه آن برابر با 2h است، نمی‌تواند تخمین درستی از این تابع در اختیار ما قرار دهد. دلیل این موضوع این است که با گسسته شدن محیط پیوسته، اطلاعات جریان سیال در نقاط میان دو نقطه حل، از بین می‌رود. توجه شود که نقاط نمایش داده شده در شکل بالا، نقاط مرکز یک المان از شبکه مورد نظر ما را نشان می‌دهند. نکته دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که گسسته سازی، تغییرات یک تابع را میان دو المان به صورت خطی در نظر می‌گیرد و شیوه این تغییرات را بین دو نقطه یا «نود» (Node) متوالی نمی‌تواند محاسبه کند.
حال شرایطی را در نظر بگیرید که یک نود در مکان x نیز قرار بگیرد و طول هر المان از 2h به h برسد. در این حالت گسسته سازی روی شبکه به شکل زیر در می‌آید.
![[تصویر: computational-fluid-dynamics13.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/computational-fluid-dynamics13.jpg)
شکل ۹: بررسی اثر کوچک کردن سایز شبکه
همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، ریز کردن شبکه می‌تواند به تخمین درست یک تابع با استفاده از گسسته سازی کمک بسیار زیادی بکند. در واقع با ریز کردن شبکه، خطوط حاصل از شبیه‌سازی تابعی مانند سرعت، توانایی شبیه‌سازی درست تمام انحناهای تابع اصلی را دارد. بر این اساس بررسی استقلال حل از شبکه، امری حیاتی در دینامیک سیالات محاسباتی است.
در فرایند بررسی استقلال حل از شبکه، هدف ما یافتن درشت‌ترین شبکه‌ای است که با استفاده از آن می‌توانیم تابع مورد نظر خود را (مثلا ضریب لیفت یک ایرفویل در علم آیرودینامیک) با دقت مطلوبی شبیه‌سازی کنیم. بنابراین دقت حل کاملا به ساختار و سایز شبکه و مش وابسته است و با افزایش تعداد سلول‌های شبکه، حجم محاسبات و زمان لازم برای شبیه‌سازی افزایش می‌یابد.
گام اول در بررسی استقلال حل از شبکه این است که یک شبکه با سایز درشت تولید کنیم و شبیه‌سازی را با استفاده از آن انجام دهیم. در این شرایط و پس از همگرایی حل، نتیجه مطلوب (مانند ضریب لیفت) خود را یادداشت می‌کنیم. در اینجا منظور از نتیجه مطلوب، پارامتر است که قرار است در بررسی روند استقال حل از شبکه، بین شبکه‌های مختلف مورد مقایسه قرار بگیرد. برای مثال در یک لوله، افت فشار یا فشار استاتیکی می‌تواند یک پارامتر مهم باشد و یا برای شبیه‌سازی جریان اطراف ایرفویل، نیروی لیفت یا درگ می‌تواند یک پارامتر مهم در نظر گرفته شود.
گام دوم این است که ابتدا شبکه مورد نظر را ریز کنیم و تعداد المان‌ها و سلول‌ها را افزایش دهیم. سپس شبیه‌سازی را با استفاده از شبکه جدید تکرار کنیم. پارامتر مطلوبی که در گام اول مشخص کردیم را در شبیه‌سازی جدید نیز یادداشت می‌کنیم و در نهایت نیاز به رسم یک نمودار داریم که محور عمودی آن مقادیر پارامتر مطلوب ما (مثلا ضریب لفت یا افت فشار) را نشان بدهد و محور افقی آن، بیان کننده اندازه شبکه باشد.
گام سوم بررسی استقال حل از شبکه این است که شبکه را اندکی ریزتر می‌کنیم و سپس مراحل ذکر شده در گام دوم را مجددا با استفاده از شبکه جدید انجام می‌دهیم. در نهایت مقدار پارامتر مطلوب حاصل از این گام را در نموداری که در گام دوم رسم کردیم، قرار می‌دهیم. این روند ریز کردن و شبیه‌سازی تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که اختلاف پارامتر مطلوب در دو شبیه‌سازی انتهایی بسیار ناچیز باشد و اختلاف آن‌ها از خطای مورد نظر ما کمتر باشد. در این حالت فرایند بررسی استقلال حل از شبکه متوقف می‌شود و شبکه یکی مانده به آخر که جوابی مشابه شبکه آخر داشته به عنوان شبکه حل مطلوب در نظر گرفته می‌شود.
دقت کنید که ما با توجه به محدود سخت افزار و زمان، نیاز به درشت‌ترین شبکه‌ای داریم که جواب درستی را در اختیار ما قرار می‌دهد. بنابراین شبکه یکی مانده به آخر که جوابی مشابه با شبکه آخر دارد را به عنوان شبکه مطلوب انتخاب می‌کنیم. در شکل زیر نمونه‌ای از فرایند بررسی استقال حل از شبکه به تصویر کشیده شده است.
![[تصویر: computational-fluid-dynamics14.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/computational-fluid-dynamics14.png)
شکل 10: بررسی استقلال حل از شبکه
مدل ریاضی که در ابتدای این مطلب مورد مطالعه قرار گرفت، تنها رابطه میان پارامترهای موجود در فرایند را به صورت مستقیم و غیر مستقیم در اختیار ما قرار می‌دهد. این در حالی است که هر ترم موجود در این روابط، تاثیر مستقیمی روی پدیده فیزیکی دارد. بنابراین تغییر این پارامترها باید به صورت همزمان در حل عددی و به صورت مجموعه‌ای از معادلات با مشتق‌های جزئی در نظر گرفته شود.
به صورت کلی می‌توان بیان کرد که اگر یک تابع شامل چند متغیر مستقل باشد، مشتق آن به صورت مشتق جزئی بیان می‌شود. در واقع مشتق جزئی و شیوه حل معادلات آن، یکی از مباحث بسیار مهمی است که به عنوان پیش نیاز برای انجام محاسبات دینامیک سیالات محاسباتی در نظر گرفته می‌شود.
در مسیر حل «سی اف دی» (CFD) و زمانی که معادله را به صورت یک مشتق جزئی بیان کردیم، می‌توانیم آن را با استفاده از روش‌های مختلف حل کنیم. توجه کنید که در معادله ناویر استوکس با توجه به حضور ترم غیر خطی، امکان حل صریح وجود ندارد و رابطه آن با استفاده از یک حل عددی قابل حل است.
در مکانیک سیالات، مسائلی مانند جریان کوئت[/url] وپواری حضور دارند که معادله ناویر استوکس در آن‌ها حل دقیق دارد. به این حل دقیق، حل تحلیلی نیز گفته می‌شود. اما باید توجه کرد که در حالت کلی و مسائل پیچیده مانند اکثر مسائل توربو ماشین وآیرودینامیک، معادله ناویر استوکس حل دقیق و تحلیلی ندارد و برای یافتن پارامترهای مختلف میدان جریان باید معادله را به صورت عددی مورد مطالعه قرار داد.
همانطور که در بالا اشاره شد، برای حل مسائل پیچیده نیاز به اجرای روش‌های مختلف عددی و گسسته‌سازی معادلات داریم. برخی از این روش‌ها شامل روش تفاضل محدود» (Finite Difference)، حجم محدود[url=https://blog.faradars.org/finite-volume-method/]» (Finite Volume)، «المان محدود» (Finite Element)، «روش اسپکترال» (Spectral Method) و «روش المان مرزی» (Boundary Element Method) هستند.
بنابراین به صورت کلی روند حل یک مسئله در دینامیک سیالات محاسباتی این است که ابتدا با استفاده از قوانین فیزیکی، یک مدل ریاضی از مسئله فیزیکی خود تولید می‌کنیم. در ادامه با انجام گسسته سازی، معادلات ریاضی را به دست می‌آوریم و سپس این معادلات را حل می‌کنیم. این روند در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.
شکل ۶: روند کلی انجام یک شبیه‌سازی عددی در دینامیک سیالات محاسباتیشبکه حل
در دینامیک سیالات محاسباتی، برای انجام محاسبات، «ناحیه» (Domain) حل، به چند «زیر ناحیه» (Sub-Domain) تقسیم می‌شود. این زیر ناحیه‌ها، «سلول» (Cell) نامیده می‌شوند. به صورت کلی نیز می‌توان بیان کرد که مجموع این سلول‌ها یک شبکه را تشکیل می‌دهند. شبکه را در ادبیات علمی مهندسی مکانیک، «مش» (Mesh) نیز می‌نامند.
شکل زیر، شبکه حل و مش اطراف یک اتومبیل فرمول یک را به تصویر کشیده است. همانطور که مشاهده می‌شود، شبکه حل در نزدیکی این اتومبیل که تغییرات اندازه و جهت بردار سرعت مقادیر زیادی دارد، ریز است و زمانی که از اتومبیل فاصله می‌گیریم اندازه شبکه درشت می‌شود. در واقع در نقاطی که تغییرات در میدان جریان کم است، اندازه شبکه بزرگ در نظر گرفته می‌شود. بنابراین توجه کنید که میزان تغییرات و حساسیت حل، سایز شبکه و مش را در نقاط مختلف ناحیه تعیین می‌کند.
شکل ۷: شبکه حل اطراف یک اتومبیل فرمول یکدر واقع همانطور که بیان شد، شبکه حل، روند شبیه‌سازی جریان را ساده می‌کند و امکان به دست آوردن پاسخ معادلات ناویر استوکس-پیوستگی و انرژی را با استفاده از روش عددی فراهم می‌سازد ولی از آن‌جایی که در این معادلات، مشتق‌های جزئی حضور دارند، اگر در قسمتی از حل، شبکه بزرگ و تغییرات پارامترهای سیال زیاد باشد، گسسته‌سازی معادلات به درستی صورت نخواهد گرفت و معادله گسسته شده نماینده درستی از جریان واقعی سیال نخواهد بود.
بنابراین همانطور که توضیح داده شد، در نواحی که تغییرات جریان شدید است، مانند دیواره‌ها، اندازه شبکه و مش به صورت ریز انتخاب می‌شود. روندی که در دینامیک سیالات محاسباتی برای محاسبه اندازه شبکه انتخاب می‌شود، تحت عنوان «استقلال از شبکه» (Mesh Independency) و «آنالیز همگرایی شبکه» (Mesh Convergence Analysis) شناخته می‌شود.
استقلال حل از شبکه
مسائلی که در بخش قبل در مورد شبکه حل بیان شد، مسائل بسیار مهمی هستند. بنابراین توجه کنید که وقتی خطای زیادی در شبکه وجود داشته باشد، شبیه‌سازی درستی انجام نخواهد شد و روند حل عددی معادلات با شکست مواجه می‌شود.
به منظور توضیح دقیق اثر گذاری سایز شبکه در نتایج نهایی، در ادامه یک مثال آورده می‌شود. این مثال می‌تواند فهم دقیق و عمیقی از تاثیر اندازه شبکه در اختیار ما قرار دهد. بر این اساس حالتی را در نظر بگیرید که طول هر المان شبکه برابر با 2h و تغییرات تابع مورد نظر ما (مانند سرعت) در طول مکان به شکل زیر رسم شده است.
شکل ۸: تبدیل محیط پیوسته به گسسته با استفاده از شبکههمانطور که مشاهده می‌شود، گسسته سازی معادلات در یک شبکه که طول المان شبکه آن برابر با 2h است، نمی‌تواند تخمین درستی از این تابع در اختیار ما قرار دهد. دلیل این موضوع این است که با گسسته شدن محیط پیوسته، اطلاعات جریان سیال در نقاط میان دو نقطه حل، از بین می‌رود. توجه شود که نقاط نمایش داده شده در شکل بالا، نقاط مرکز یک المان از شبکه مورد نظر ما را نشان می‌دهند. نکته دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که گسسته سازی، تغییرات یک تابع را میان دو المان به صورت خطی در نظر می‌گیرد و شیوه این تغییرات را بین دو نقطه یا «نود» (Node) متوالی نمی‌تواند محاسبه کند.
حال شرایطی را در نظر بگیرید که یک نود در مکان x نیز قرار بگیرد و طول هر المان از 2h به h برسد. در این حالت گسسته سازی روی شبکه به شکل زیر در می‌آید.
شکل ۹: بررسی اثر کوچک کردن سایز شبکههمانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، ریز کردن شبکه می‌تواند به تخمین درست یک تابع با استفاده از گسسته سازی کمک بسیار زیادی بکند. در واقع با ریز کردن شبکه، خطوط حاصل از شبیه‌سازی تابعی مانند سرعت، توانایی شبیه‌سازی درست تمام انحناهای تابع اصلی را دارد. بر این اساس بررسی استقلال حل از شبکه، امری حیاتی در دینامیک سیالات محاسباتی است.
در فرایند بررسی استقلال حل از شبکه، هدف ما یافتن درشت‌ترین شبکه‌ای است که با استفاده از آن می‌توانیم تابع مورد نظر خود را (مثلا ضریب لیفت یک ایرفویل در علم آیرودینامیک) با دقت مطلوبی شبیه‌سازی کنیم. بنابراین دقت حل کاملا به ساختار و سایز شبکه و مش وابسته است و با افزایش تعداد سلول‌های شبکه، حجم محاسبات و زمان لازم برای شبیه‌سازی افزایش می‌یابد.
گام اول در بررسی استقلال حل از شبکه این است که یک شبکه با سایز درشت تولید کنیم و شبیه‌سازی را با استفاده از آن انجام دهیم. در این شرایط و پس از همگرایی حل، نتیجه مطلوب (مانند ضریب لیفت) خود را یادداشت می‌کنیم. در اینجا منظور از نتیجه مطلوب، پارامتر است که قرار است در بررسی روند استقال حل از شبکه، بین شبکه‌های مختلف مورد مقایسه قرار بگیرد. برای مثال در یک لوله، افت فشار یا فشار استاتیکی می‌تواند یک پارامتر مهم باشد و یا برای شبیه‌سازی جریان اطراف ایرفویل، نیروی لیفت یا درگ می‌تواند یک پارامتر مهم در نظر گرفته شود.
گام دوم این است که ابتدا شبکه مورد نظر را ریز کنیم و تعداد المان‌ها و سلول‌ها را افزایش دهیم. سپس شبیه‌سازی را با استفاده از شبکه جدید تکرار کنیم. پارامتر مطلوبی که در گام اول مشخص کردیم را در شبیه‌سازی جدید نیز یادداشت می‌کنیم و در نهایت نیاز به رسم یک نمودار داریم که محور عمودی آن مقادیر پارامتر مطلوب ما (مثلا ضریب لفت یا افت فشار) را نشان بدهد و محور افقی آن، بیان کننده اندازه شبکه باشد.
گام سوم بررسی استقال حل از شبکه این است که شبکه را اندکی ریزتر می‌کنیم و سپس مراحل ذکر شده در گام دوم را مجددا با استفاده از شبکه جدید انجام می‌دهیم. در نهایت مقدار پارامتر مطلوب حاصل از این گام را در نموداری که در گام دوم رسم کردیم، قرار می‌دهیم. این روند ریز کردن و شبیه‌سازی تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که اختلاف پارامتر مطلوب در دو شبیه‌سازی انتهایی بسیار ناچیز باشد و اختلاف آن‌ها از خطای مورد نظر ما کمتر باشد. در این حالت فرایند بررسی استقلال حل از شبکه متوقف می‌شود و شبکه یکی مانده به آخر که جوابی مشابه شبکه آخر داشته به عنوان شبکه حل مطلوب در نظر گرفته می‌شود.
دقت کنید که ما با توجه به محدود سخت افزار و زمان، نیاز به درشت‌ترین شبکه‌ای داریم که جواب درستی را در اختیار ما قرار می‌دهد. بنابراین شبکه یکی مانده به آخر که جوابی مشابه با شبکه آخر دارد را به عنوان شبکه مطلوب انتخاب می‌کنیم. در شکل زیر نمونه‌ای از فرایند بررسی استقال حل از شبکه به تصویر کشیده شده است.
شکل 10: بررسی استقلال حل از شبکه