14-08-2020, 02:38 PM
مرکز جرم یک جسم، نقطه تعادل آن جسم را نشان می‌دهد. به صورت ریاضی می‌توان بیان کرد که مرکز جرم، نقطه‌ای از جسم در نظر گرفته می‌شود که مجموع گشتاور ناشی از اجزای جرم جسم حول آن نقطه برابر با صفر باشد. مرکز جرم از آن نظر حائز اهمیت است که در مسائل مختلف، می‌توان مجموعه‌ای از اجرام را مانند یک جرم در نظر گرفت که در نقطه مرکز جرم آن مجموعه قرار دارد.
ین موضوع کاربرد بسیار زیادی در علم مکانیک[url=https://faradars.org/how-to-learn/mechanical-engineering-courses][/url] وفیزیک دارد. برای مثال قانون دوم نیوتون برای مجموعه‌ای از اجرام با استفاده از این مفهوم، به سادگی قابل بیان است.
این مطلب، ابتدا به بررسی مفهوم مرکز جرم و رابطه کلی آن می‌پردازد. سپس مفهوم تقارن و انواع آن، برای یافتن مکان مرکز جرم یک جسم، بدون انجام محاسبات ریاضی، مورد ارزیابی قرار می‌گیرد. در ادامه رابطه‌ای برای یافتن مکان مرکز جرم چند جسم که روی یک خط یا موقعیت‌های مختلف قرار دارند، ارائه می‌گردد. پس از آن، رابطه مرکز جرم برای اجسام پیوسته با چگالی یکنواخت و متغیر مورد بررسی قرار می‌گیرد و در نهایت تفاوت دو مفهوم اساسی یعنی مرکز گرانش و جرم بیان می‌شود.
مرکز جرم
به صورت کلی می‌توان بیان کرد که مرکز جرم، مکانی است که در آن، مجموع گشتاورها در جهت عقربه‌های ساعت حول مرکز جرم با مجموع گشتاورها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول همان نقطه، برابر است.
عبارت بالا را می‌توان این گونه بیان کرد که اگر تمام جرم‌های یک مجموعه شامل چند جسم را در مرکز جرم قرار دهیم، گشتاور حاصل از جرم‌های قرار داده شده در مرکز جرم، حول هر نقطه‌ای از فضا با مجموع گشتاور حاصل از تک تک جرم‌ها حول همان نقطه، برابر خواهد بود. این موضوع با استفاده از رابطه زیر نشان داده شده است.
![[تصویر: Centre-of-Mass1.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass1.png)
رابطه ۱ ![[تصویر: Centre-of-Mass2.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass2.png)
رابطه 2
مقدمه‌ای بر تقارن
مرکز جرم یک جسم که چگالی یکنواختی دارد را معمولا بدون انجام محاسبات ریاضی و تنها با در نظر گرفتن تقارن آن جسم، می‌توان به دست آورد.
برای مثال یک میله با چگالی یکسان را در نظر بگیرید. واضح است که مرکز جرم این جسم در میانه آن قرار دارد. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.
![[تصویر: Centre-of-Mass-3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-3.jpg)
مرکز جرم میله
به عنوان مثال دیگر می‌توان مربعی به شکل زیر را در نظر گرفت، مرکز جرم این جسم دو بعدی که چگالی آن یکنواختی است، در نقطه D قرار دارد.
![[تصویر: Centre-of-Mass4.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass4.jpg)
مرکز جرم مربع با چگالی یکنواخت
مرکز جرم جسمی با هندسه نشان داده شده در شکل زیر، در نقطه B قرار دارد. توجه شود که چگالی این جسم به صورت یکنواخت در نظر گرفته شده است.
![[تصویر: Centre-of-Mass6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass6.jpg)
به عنوان مثال سوم، یک ستاره پنج پر را مطابق شکل زیر، در نظر بگیرید. در صورتی که چگالی این ستاره به صورت یکنواخت در نظر گرفته شود، مرکز جرم آن دقیقا در مرکز جسم یعنی نقطه C قرار خواهد گرفت.
![[تصویر: Centre-of-Mass5.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass5.jpg)
مرکز جرم ستاره پنج پر
تقارن چرخشی
تقارن چرخشی، یکی از پایه‌ای‌ترین انواع تقارن‌ها است که برای محاسبه مرکز جرم یک جسم مورد استفاده قرار می‌گیرد. بنابراین در صورتی که یک جسم و یا مجموعه‌ای از اجسام، حول یک نقطه به صورت چرخشی دارای تقارن باشند، آن نقطه، مرکز جرم آن جسم و یا جسم‌ها است.
بر این اساس، جسمی که به شکل Z در قسمت قبلی نشان داده شد را اگر 180 درجه حول مرکز آن دوران دهیم، دقیقا مشابه حالت اول خواهد بود. بنابراین مرکز جرم آن دقیقا روی مرکز تقارن چرخشی آن قرار خواهد گرفت.
![[تصویر: Centre-of-Mass7.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass7.jpg)
جسمی را مطابق شکل زیر با چگالی یکنواخت در نظر بگیرید. از آنجایی که این جسم حول نقطه A تقارن چرخشی دارد، مرکز جرم آن، دقیقا همان نقطه A است.
![[تصویر: Centre-of-Mass8.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass8.jpg)
تقارن بازتابی
همانطور که می‌دانید، اگر جسمی، یک خط تقارن بازتابی داشته باشد، با قرار دادن آینه روی خط تقارن می‌توان نیمه پاک شده جسم را بازسازی کرد. مشابه با تعریف یک خط تقارن بازتابی، می‌توان اجسامی را تصور کرد که مانند شکل زیر چند خط تقارن بازتابی داشته باشند.
![[تصویر: Centre-of-Mass9.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass9.jpg)
تقارن بازتابی
مرکز جرم یک جسم و یا مجموعه‌ای از اجسام که چند خط برای تقارن بازتابی دارند، دقیقا روی تقاطع این خطوط قرار می‌گیرد و اگر یک جسم، تنها یک خط تقارن بازتابی داشته باشد، می‌توان نشان داد که مرکز جرم این جسم در مکانی روی این خط قرار دارد. برای مثال، ستاره نشان داده شده در شکل بالا را در نظر بگیرید، همه خطوط تقارن بازتابی آن از یک نقطه می‌گذرند که این نقطه همان مرکز جرم این جسم را نشان می‌دهد.
نکته‌ای که باید به آن اشاره کرد این است که در صورتی که یک جسم، دو خط تقارن بازتابی داشته باشد، نقطه تقاطع این دو خط که مرکز جرم آن جسم است، همان نقطه‌ای است که جسم حول آن تقارن چرخشی دارد. توجه شود که معمولا در مسائل مختلف، خط تقارن بازتابی کاربرد بیشتری برای محاسبه مرکز جرم نسبت به نقطه تقارن چرخشی دارد.
به عنوان مثال، مثلث متساوی الاضلاع با چگالی یکنواخت مانند شکل زیر را در نظر بگیرید. همانطور که مشاهده می‌شود، این مثلث سه خط تقارن بازتابی دارد و مرکز جرم آن دقیق در نقطه تقاطع این سه خط، یعنی در نقطه D قرار می‌گیرد.
ین موضوع کاربرد بسیار زیادی در علم مکانیک[url=https://faradars.org/how-to-learn/mechanical-engineering-courses][/url] وفیزیک دارد. برای مثال قانون دوم نیوتون برای مجموعه‌ای از اجرام با استفاده از این مفهوم، به سادگی قابل بیان است.
این مطلب، ابتدا به بررسی مفهوم مرکز جرم و رابطه کلی آن می‌پردازد. سپس مفهوم تقارن و انواع آن، برای یافتن مکان مرکز جرم یک جسم، بدون انجام محاسبات ریاضی، مورد ارزیابی قرار می‌گیرد. در ادامه رابطه‌ای برای یافتن مکان مرکز جرم چند جسم که روی یک خط یا موقعیت‌های مختلف قرار دارند، ارائه می‌گردد. پس از آن، رابطه مرکز جرم برای اجسام پیوسته با چگالی یکنواخت و متغیر مورد بررسی قرار می‌گیرد و در نهایت تفاوت دو مفهوم اساسی یعنی مرکز گرانش و جرم بیان می‌شود.
مرکز جرم
به صورت کلی می‌توان بیان کرد که مرکز جرم، مکانی است که در آن، مجموع گشتاورها در جهت عقربه‌های ساعت حول مرکز جرم با مجموع گشتاورها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول همان نقطه، برابر است.
عبارت بالا را می‌توان این گونه بیان کرد که اگر تمام جرم‌های یک مجموعه شامل چند جسم را در مرکز جرم قرار دهیم، گشتاور حاصل از جرم‌های قرار داده شده در مرکز جرم، حول هر نقطه‌ای از فضا با مجموع گشتاور حاصل از تک تک جرم‌ها حول همان نقطه، برابر خواهد بود. این موضوع با استفاده از رابطه زیر نشان داده شده است.
رابطه ۱ رابطه 2مقدمه‌ای بر تقارن
مرکز جرم یک جسم که چگالی یکنواختی دارد را معمولا بدون انجام محاسبات ریاضی و تنها با در نظر گرفتن تقارن آن جسم، می‌توان به دست آورد.
برای مثال یک میله با چگالی یکسان را در نظر بگیرید. واضح است که مرکز جرم این جسم در میانه آن قرار دارد. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.
مرکز جرم میلهبه عنوان مثال دیگر می‌توان مربعی به شکل زیر را در نظر گرفت، مرکز جرم این جسم دو بعدی که چگالی آن یکنواختی است، در نقطه D قرار دارد.
مرکز جرم مربع با چگالی یکنواختمرکز جرم جسمی با هندسه نشان داده شده در شکل زیر، در نقطه B قرار دارد. توجه شود که چگالی این جسم به صورت یکنواخت در نظر گرفته شده است.
به عنوان مثال سوم، یک ستاره پنج پر را مطابق شکل زیر، در نظر بگیرید. در صورتی که چگالی این ستاره به صورت یکنواخت در نظر گرفته شود، مرکز جرم آن دقیقا در مرکز جسم یعنی نقطه C قرار خواهد گرفت.
مرکز جرم ستاره پنج پرتقارن چرخشی
تقارن چرخشی، یکی از پایه‌ای‌ترین انواع تقارن‌ها است که برای محاسبه مرکز جرم یک جسم مورد استفاده قرار می‌گیرد. بنابراین در صورتی که یک جسم و یا مجموعه‌ای از اجسام، حول یک نقطه به صورت چرخشی دارای تقارن باشند، آن نقطه، مرکز جرم آن جسم و یا جسم‌ها است.
بر این اساس، جسمی که به شکل Z در قسمت قبلی نشان داده شد را اگر 180 درجه حول مرکز آن دوران دهیم، دقیقا مشابه حالت اول خواهد بود. بنابراین مرکز جرم آن دقیقا روی مرکز تقارن چرخشی آن قرار خواهد گرفت.
جسمی را مطابق شکل زیر با چگالی یکنواخت در نظر بگیرید. از آنجایی که این جسم حول نقطه A تقارن چرخشی دارد، مرکز جرم آن، دقیقا همان نقطه A است.
تقارن بازتابی
همانطور که می‌دانید، اگر جسمی، یک خط تقارن بازتابی داشته باشد، با قرار دادن آینه روی خط تقارن می‌توان نیمه پاک شده جسم را بازسازی کرد. مشابه با تعریف یک خط تقارن بازتابی، می‌توان اجسامی را تصور کرد که مانند شکل زیر چند خط تقارن بازتابی داشته باشند.
تقارن بازتابیمرکز جرم یک جسم و یا مجموعه‌ای از اجسام که چند خط برای تقارن بازتابی دارند، دقیقا روی تقاطع این خطوط قرار می‌گیرد و اگر یک جسم، تنها یک خط تقارن بازتابی داشته باشد، می‌توان نشان داد که مرکز جرم این جسم در مکانی روی این خط قرار دارد. برای مثال، ستاره نشان داده شده در شکل بالا را در نظر بگیرید، همه خطوط تقارن بازتابی آن از یک نقطه می‌گذرند که این نقطه همان مرکز جرم این جسم را نشان می‌دهد.
نکته‌ای که باید به آن اشاره کرد این است که در صورتی که یک جسم، دو خط تقارن بازتابی داشته باشد، نقطه تقاطع این دو خط که مرکز جرم آن جسم است، همان نقطه‌ای است که جسم حول آن تقارن چرخشی دارد. توجه شود که معمولا در مسائل مختلف، خط تقارن بازتابی کاربرد بیشتری برای محاسبه مرکز جرم نسبت به نقطه تقارن چرخشی دارد.
به عنوان مثال، مثلث متساوی الاضلاع با چگالی یکنواخت مانند شکل زیر را در نظر بگیرید. همانطور که مشاهده می‌شود، این مثلث سه خط تقارن بازتابی دارد و مرکز جرم آن دقیق در نقطه تقاطع این سه خط، یعنی در نقطه D قرار می‌گیرد.