24-08-2020, 08:50 PM
جریان لزج و معادلات ناویر استوکس
با بررسی دقیق معادله‌‌های دیفرانسیلی حرکت که در قسمت قبل بیان شد، به این نتیجه می‌رسیم که تعداد مجهولات موجود در این معادلات بیشتر از تعداد خود معادلات هستند. بنابراین به کمک این سه معادله نمی‌توان مجهولات مسئله را محاسبه کرد و برای برطرف کردن این موضوع باید رابطه‌ای بین سرعت سیال و تنش وارد بر آن نوشته شود.
رابطه بین تنش و سرعت
برای سیالات نیوتنی و غیر قابل تراکم، تنش را می‌توان به صورت خطی بر حسب مشتق سرعت نوشت. رابطه بین تنش عمودی و مشتق‌های سرعت در مختصات کارتزین به شکل زیر نمایش داده می‌شود.
![[تصویر: Equation-of-motion22.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion22.jpg)
همچنین رابطه بین تنش‌های برشی و مشتق‌های سرعت در مختصات کارتزین به صورت زیر است.
![[تصویر: Equation-of-motion23.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion23.jpg)
در این رابطه P فشار است که می‌توان آن را با استفاده از رابطه موجود در شکل زیر تعریف کرد.
![[تصویر: Equation-of-motion24.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion24.jpg)
برای سیالات لزج، تنش عمودی در سه راستای y، x و z ضرورتاً یکسان نیستند؛ بنابراین نیاز هست که فشار را به صورت میانگین تنش عمودی در سه راستای مختلف به شکل بالا بیان کنیم. برای سیالات غیر لزج تنش عمودی در سه راستا با یکدیگر برابر هستند که روابط آن در بخش استاتیکک سیالات بیان شد.
معادلات ناویر-استوکس
رابطه بین تنش‌های مختلف و مشتق‌های سرعت در بخش قبلی بیان شد. در ادامه این رابطه را در معادله کلی حرکت بیان شده در قسمت قبل، جایگذاری می‌کنیم. فرم نهایی این معادلات به ترتیب در سه راستای y، x و z به شکل زیر نشان داده می‌شود.
![[تصویر: Equation-of-motion25.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion25.jpg)
![[تصویر: Equation-of-motion26.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion26.jpg)
![[تصویر: Equation-of-motion27.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion27.jpg)
در این روابط v، u و w به ترتیب سرعت در راستای y، x و z را مطابق شکل زیر نشان می‌دهند.
![[تصویر: Equation-of-motion28.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion28.jpg)
معادلات بالا به گونه‌ای نوشته شده‌اند که شتاب در سمت چپ و نیروهای وارده در سمت راست معادله موجود باشند. این معادلات تحت عنوان معادلات «ناویر-استوکس» (Navier-Stokes) شناخته می‌شوند.
در صورتی که این سه معادله با معادله بقای جرم[url=https://blog.faradars.org/continuity-and-conservation-of-mass/][/url] ترکیب شوند، توصیف کاملی از ویژگی‌های مختلف میدان جریان یک سیال نیوتنی و غیر قابل تراکم را می‌توانند در اختیار ما قرار دهند. در واقع در اینجا ما ۴ معادله (۳ رابطه ناویر-استوکس و ۱ رابطه بقای جرم) و ۴ مجهول (سرعت در راستای y، x و z و فشار P) داریم؛ بنابراین به این مسئله اصطلاحاً «خوش وضع» (well-posed) گفته می‌شود. در مسائل خوش وضع تعداد معادلات و مجهولات با یکدیگر برابر هستند.
این معادلات با توجه به حضور ترم‌های غیر خطی در آن، به غیر از چند حالت خاص دارای حل ریاضی دقیق نیستند و برای حل آن‌ها از روش‌های عددی موجود در علم دینامیک سیالات محاسباتی مانندروش تفاضل محدود و حجم محدوداستفاده می‌شود. نتایج این معادلات در حالات مختلف با نتایج آزمایش‌های تجربی مقایسه شدند و تطابق خوبی بین نتایج آزمایش‌های تجربی و معادلات ناویر-استوکس نشان داده شده است. بنابراین معادلات ناویر استوکس به شکل بالا را می‌توان به عنوان معادلات دیفرانسیلی حاکم بر سیال‌های نیوتنی غیر قابل تراکم بیان کرد.
در این مطلب ابتدا به صورت جامع به شیوه محاسبه معادلات حرکت در مکانیک سیالات پرداخته شد و در نهایت با استفاده از رابطه تنش و سرعت در سیالات لزج، معادلات ناویر استوکس به دست آمدند. این معادلات در حالات خاص مانند « جریان کوئت» (Couette Flow)، «جریان پواری» (Poiseuille Flow)، جریان پایا و لایه‌ای بین دو صفحه موازی یا لوله‌های دایروی، دارای حل دقیق ریاضی هستند. معادلات ناویر استوکس نقش اساسی در علم دینامیک سیالات محاسباتی برای تحلیل عددی جریان سیال بازی می‌کند و کاربرد آن در علوم آیرودینامیک و توربو ماشین مشهود است.
با بررسی دقیق معادله‌‌های دیفرانسیلی حرکت که در قسمت قبل بیان شد، به این نتیجه می‌رسیم که تعداد مجهولات موجود در این معادلات بیشتر از تعداد خود معادلات هستند. بنابراین به کمک این سه معادله نمی‌توان مجهولات مسئله را محاسبه کرد و برای برطرف کردن این موضوع باید رابطه‌ای بین سرعت سیال و تنش وارد بر آن نوشته شود.
رابطه بین تنش و سرعت
برای سیالات نیوتنی و غیر قابل تراکم، تنش را می‌توان به صورت خطی بر حسب مشتق سرعت نوشت. رابطه بین تنش عمودی و مشتق‌های سرعت در مختصات کارتزین به شکل زیر نمایش داده می‌شود.
همچنین رابطه بین تنش‌های برشی و مشتق‌های سرعت در مختصات کارتزین به صورت زیر است.
در این رابطه P فشار است که می‌توان آن را با استفاده از رابطه موجود در شکل زیر تعریف کرد.
برای سیالات لزج، تنش عمودی در سه راستای y، x و z ضرورتاً یکسان نیستند؛ بنابراین نیاز هست که فشار را به صورت میانگین تنش عمودی در سه راستای مختلف به شکل بالا بیان کنیم. برای سیالات غیر لزج تنش عمودی در سه راستا با یکدیگر برابر هستند که روابط آن در بخش استاتیکک سیالات بیان شد.
معادلات ناویر-استوکس
رابطه بین تنش‌های مختلف و مشتق‌های سرعت در بخش قبلی بیان شد. در ادامه این رابطه را در معادله کلی حرکت بیان شده در قسمت قبل، جایگذاری می‌کنیم. فرم نهایی این معادلات به ترتیب در سه راستای y، x و z به شکل زیر نشان داده می‌شود.
در این روابط v، u و w به ترتیب سرعت در راستای y، x و z را مطابق شکل زیر نشان می‌دهند.معادلات بالا به گونه‌ای نوشته شده‌اند که شتاب در سمت چپ و نیروهای وارده در سمت راست معادله موجود باشند. این معادلات تحت عنوان معادلات «ناویر-استوکس» (Navier-Stokes) شناخته می‌شوند.
در صورتی که این سه معادله با معادله بقای جرم[url=https://blog.faradars.org/continuity-and-conservation-of-mass/][/url] ترکیب شوند، توصیف کاملی از ویژگی‌های مختلف میدان جریان یک سیال نیوتنی و غیر قابل تراکم را می‌توانند در اختیار ما قرار دهند. در واقع در اینجا ما ۴ معادله (۳ رابطه ناویر-استوکس و ۱ رابطه بقای جرم) و ۴ مجهول (سرعت در راستای y، x و z و فشار P) داریم؛ بنابراین به این مسئله اصطلاحاً «خوش وضع» (well-posed) گفته می‌شود. در مسائل خوش وضع تعداد معادلات و مجهولات با یکدیگر برابر هستند.
این معادلات با توجه به حضور ترم‌های غیر خطی در آن، به غیر از چند حالت خاص دارای حل ریاضی دقیق نیستند و برای حل آن‌ها از روش‌های عددی موجود در علم دینامیک سیالات محاسباتی مانندروش تفاضل محدود و حجم محدوداستفاده می‌شود. نتایج این معادلات در حالات مختلف با نتایج آزمایش‌های تجربی مقایسه شدند و تطابق خوبی بین نتایج آزمایش‌های تجربی و معادلات ناویر-استوکس نشان داده شده است. بنابراین معادلات ناویر استوکس به شکل بالا را می‌توان به عنوان معادلات دیفرانسیلی حاکم بر سیال‌های نیوتنی غیر قابل تراکم بیان کرد.
در این مطلب ابتدا به صورت جامع به شیوه محاسبه معادلات حرکت در مکانیک سیالات پرداخته شد و در نهایت با استفاده از رابطه تنش و سرعت در سیالات لزج، معادلات ناویر استوکس به دست آمدند. این معادلات در حالات خاص مانند « جریان کوئت» (Couette Flow)، «جریان پواری» (Poiseuille Flow)، جریان پایا و لایه‌ای بین دو صفحه موازی یا لوله‌های دایروی، دارای حل دقیق ریاضی هستند. معادلات ناویر استوکس نقش اساسی در علم دینامیک سیالات محاسباتی برای تحلیل عددی جریان سیال بازی می‌کند و کاربرد آن در علوم آیرودینامیک و توربو ماشین مشهود است.