معادلات ناویر استوکس2

[amir315hossein]

نیروی سطحی وارد بر یک المان سیال با مساحت سطح δA
که در مکان دلخواهی از سیال قرار دارد، با علامت δFs و مطابق با شکل زیر نشان داده می‌شود.

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، δFs
از سه قسمت تشکیل می‌شود. قسمت اول δFn است که به صورت عمود بر سطح δA وارد می‌شود. قسمت دوم و سوم یعنی δF1 و δF2 اجزایی از این نیرو هستند که به صورت موازی با سطح δA
قرار دارند و بر یکدیگر عمودند. بنابراین می‌توان «تنش عمودی» (Normal Stress) که بر این سطح وارد می‌شود را با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

همچنین مشابه رابطه بالا می‌توان «تنش‌های برشی» (Shear Stresses) که در نتیجه اعمال نیروهای δF1
و δF2
بر سطح، تولید می‌شوند را به فرم زیر بیان کرد.

همانطور که در روابط بالا مشاهده می‌شود، عبارت σ
و τ
به ترتیب برای نمایش تنش نرمال و تنش برشی استفاده شده‌اند. بنابراین در صورتی که مساحت و جهت یک جز سیستم مشخص باشد می‌توان نیرو بر واحد سطح را در این جز سیستم با استفاده از ترم‌های تنش برشی و تنش عمودی مشخص کرد. برای مثال یک سیستم مختصات را مشابه شکل زیر در نظر بگیرید.
شکل 1
در این سیستم، تنش‌های عمودی و برشی در مختصات نمایش داده شده، نوشته می‌شوند. صفحه موازی با صفحه y-z (صفحه ABCD) را در نظر بگیرید. در این صفحه تنش عمودی با نماد σxx
و تنش‌های برشی با نمادهای τxy و τxz
نشان داده شده‌اند.

مشابه مثال بالا در تمامی مسائل مکانیک سیالات برای مشخص کردن اجزای تنش از یک زیروند شامل دو حرف استفاده می‌شود. حرف اول، جهت بردار نرمال صفحه‌ای را نشان می‌دهد که تنش روی آن وارد شده است و حرف دوم جهت تنش را بیان می‌کند. نکته دیگر این است که زیروند تنش عمودی شامل دو حرف مشابه است در حالی که زیروند تنش برشی همواره شامل دو حرف متفاوت است.
علاوه بر نکته‌ای که در بالا برای نام‌گذاری تنش بیان شد، در اکثر مسائل مکانیک سیالات نیاز به تعریف یک قرارداد برای علامت این تنش داریم. در این مسائل مطابق شکل 1، در صورتی که بردار نرمال عمود بر سطح در جهت مثبت محورهای مختصات باشد، تنشی مثبت است که جهت آن در جهت مثبت محورهای مختصات باشد. این مورد در شکل بالا و قسمت (a) آن نشان داده شده است. در صورتی که جهت بردار عمود بر سطح به سمت منفی محورهای مختصات باشد، تنشی مثبت است که جهت بردار آن در خلاف جهت محورهای مختصات قرار داشته باشد. این موضوع در قسمت (b) شکل بالا به تصویر کشیده شده است. توجه کنید که مقدار مثبت تنش عمودی به حالتی گفته می‌شود که در آن، تنش به صورت کششی بر سیستم اعمال می‌گردد.
در ادامه به بررسی نیروهای سطحی می‌پردازیم که بر یک المان مکعبی از سیال وارد می‌شوند. این نیروها بر حسب تنش‌های وارد شده بر دیواره‌های المان، مطابق روابط موجود در شکل زیر قابل بیان هستند.

در مکانیک سیالات به صورت کلی می‌توان نشان داد که اندازه و جهت تنش‌ها در میدان جریان از نقطه‌ای به نقطه‌ دیگر متفاوت هستند. بنابراین برای استفاده ازسری تیلوردر این روابط، تنش‌های هر کدام از سطوح المان را بر حسب تنش موجود در مرکز المان شکل بالا و گرادیان آن در جهت محورهای مختصات بیان می‌کنیم. توجه شود که برای محاسبه نیرو باید تنش‌ها را در مساحت سطح ضرب کنیم. این موضوع در شکل بالا به خوبی نشان داده شده است.
برای محاسبه نیرو در راستای x باید تمام نیروهایی که در شکل بالا در راستای x نشان داده شده‌اند را با یکدیگر جمع کنیم. در نهایت نیروی سطحی وارد بر این المان در راستای x به شکل زیر در می‌آید.

به طور مشابه برای محاسبه نیرو در راستای y و z نیز مانند رابطه بالا عمل می‌کنیم و حاصل جمع تمام نیروهای نشان داده شده در المان مکعبی در راستاهای مورد نظر را به دست می‌آوریم. در نهایت نیروهای سطحی در راستای y و z به شکل زیر در می‌آیند.

نیروی سطحی کلی که به المان سیستم وارد می‌شود (δFs
)، برابر با حاصل جمع برداری نیروی سطحی در سه راستای y، x و z است که در رابطه زیر به بررسی این موضوع پرداخته می‌شود.

در نهایت برای استفاده از قانون مومنتوم خطی به محاسبه نیروی کلی وارد بر المان سیستم نیاز داریم. برای محاسبه نیروی کلی که با نماد δF
نشان داده می‌شود، باید رابطه بالا که نشان دهنده نیروی سطحی است با رابطه نیروی حجمی (δFb
) به صورت زیر جمع شوند.

معادلات حرکت
در ادامه برای به دست آوردن معادلات حرکت، نیروهای سطحی و حجمی را در رابطه قانون دوم نیوتن وارد می‌کنیم. قانون دوم نیوتن برای یک المان سیال به جرم δm
به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

همچنین شتاب در مطلب سینماتیک سیالات با استفاده از رابطه زیر نمایش داده شد.

جرم المان سیال دردر سیالات به شکل زیر در می‌آید.