24-08-2020, 12:02 AM
کته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که مجموعه نقاطی که در تفاضل محدود دو بعدی و سه بعدی در نظر گرفته می‌شود شامل نقاطی است که در اطراف Ui,j قرار دارند.
تا به اینجا، تقریب تفاضل محدود مورد بررسی قرار گرفت و شیوه محاسبه آن برای مشتق مرتبه اول و مراتب بالاتر نشان داده شد. همچنین شیوه نمایش و محاسبه مشتق در دو بعد نیز مورد بررسی قرار گرفت.
در ادامه به بررسی «روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) پرداخته می‌شود. برای استفاده از این روش نیاز به داشتن دانش کافی در زمینه قوانین و روابط مختلف حاکم بر سیالات در علم دینامیک سیالات داریم. این قوانین و روابط از جمله پرکاربردترین قوانین موجود در مکانیک سیالات هستند و قوانین پیوستگی و بقای جرم[/url]،مومنتوم خطی [url=https://blog.faradars.org/linear-momentum-equation/] وزاویه ای و معادلات ناویر-استوکس را در بر می‌گیرند.
روش تفاضل محدود
معادله یک بعدی «نفوذ و جابه‌جایی» (Convection-Diffusion) را در نظر بگیرید. این معادله را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.
![[تصویر: Finite-Difference20.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference20.png)
رابطه ۲۱
در ادامه این معادله را با استفاده از تقریب تفاضل محدود، گسسته‌سازی می‌کنیم. برای این منظور از عملگر تفاضل محدود مرکزی استفاده می‌شود و در نهایت رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید.
![[تصویر: Finite-Difference21.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference21.png)
رابطه 22
رابطه فوق یک معادله دیفرانسیل معمولی (توجه کنید که علامت ∂ به d تبدیل شده) برای Ui را نشان می‌دهد و شامل مقادیر U در نقاط Ui−1
، Ui و Ui+1
می‌شود.
توجه شود که معادله دیفرانسیل معمولی، معادله‌ای است که در آن، متغیر مسئله تنها به یک پارامتر مستقل، وابسته است و علامت مشتق با d نشان داده می‌شود. همچنین معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادله‌ای گفته می‌شود که متغیر آن به چند پارامتر مستقل، وابسته باشد و علامت مشتق با نماد ∂ (مشتق جزئی) نشان داده می‌شود.
در ادامه مقادیر پارامتر U در تمامی نقاط شبکه را با استفاده از یک بردار به شکل زیر نمایش می‌دهیم.
![[تصویر: Finite-Difference22.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference22.png)
رابطه 23
در نهایت این معادلات به صورت مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی در می‌آیند که می‌توان آن‌ها را به شکل خلاصه شده زیر نمایش داد.
![[تصویر: Finite-Difference23.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference23.png)
رابطه 24
در این رابطه، پارامتر b، شرایط مرزی را نمایش می‌دهد. شرایط مرزی در واقع پارامترهای معلوم مسئله در مرزها را مشخص می‌کنند. برای مثال ممکن است سرعت جریان سیال در ورودی یک لوله معلوم باشد یا دمای دیواره لوله مقدار مشخص و ثابتی داشته باشد. در این شرایط، سرعت ورودی و دمای دیواره به عنوان دو شرط مرزی در نظر گرفته می‌شوند.
در رابطه بالا، ماتریس A را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.
![[تصویر: Finite-Difference24.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference24.png)
رابطه 25
توجه کنید که سطر i ام ماتریس بالا، ضرایب مربوط به معادله دیفرانسیل معمولی پارامتر U در نقطه i را نشان می‌دهند. نکته مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که به غیر از حالاتی که در آن‌ها شرایط مرزی حضور دارد، مقدار Ai,j ضریب αj موجود در تقریب تفاضل محدود را نمایش می‌دهد.
به عنوان مثال برای یک تقریب تفاضل مرکزی، ضرایب به صورت زیر در می‌آیند.
![[تصویر: Finite-Difference25.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference25.png)
رابطه 26 ![[تصویر: Finite-Difference26.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference26.png)
رابطه 27 ![[تصویر: Finite-Difference27.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference27.png)
رابطه 28
تا به اینجا، تقریب تفاضل محدود مورد بررسی قرار گرفت و شیوه محاسبه آن برای مشتق مرتبه اول و مراتب بالاتر نشان داده شد. همچنین شیوه نمایش و محاسبه مشتق در دو بعد نیز مورد بررسی قرار گرفت.
در ادامه به بررسی «روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) پرداخته می‌شود. برای استفاده از این روش نیاز به داشتن دانش کافی در زمینه قوانین و روابط مختلف حاکم بر سیالات در علم دینامیک سیالات داریم. این قوانین و روابط از جمله پرکاربردترین قوانین موجود در مکانیک سیالات هستند و قوانین پیوستگی و بقای جرم[/url]،مومنتوم خطی [url=https://blog.faradars.org/linear-momentum-equation/] وزاویه ای و معادلات ناویر-استوکس را در بر می‌گیرند.
روش تفاضل محدود
معادله یک بعدی «نفوذ و جابه‌جایی» (Convection-Diffusion) را در نظر بگیرید. این معادله را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.
رابطه ۲۱در ادامه این معادله را با استفاده از تقریب تفاضل محدود، گسسته‌سازی می‌کنیم. برای این منظور از عملگر تفاضل محدود مرکزی استفاده می‌شود و در نهایت رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید.
رابطه 22رابطه فوق یک معادله دیفرانسیل معمولی (توجه کنید که علامت ∂ به d تبدیل شده) برای Ui را نشان می‌دهد و شامل مقادیر U در نقاط Ui−1
، Ui و Ui+1
می‌شود.
توجه شود که معادله دیفرانسیل معمولی، معادله‌ای است که در آن، متغیر مسئله تنها به یک پارامتر مستقل، وابسته است و علامت مشتق با d نشان داده می‌شود. همچنین معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادله‌ای گفته می‌شود که متغیر آن به چند پارامتر مستقل، وابسته باشد و علامت مشتق با نماد ∂ (مشتق جزئی) نشان داده می‌شود.
در ادامه مقادیر پارامتر U در تمامی نقاط شبکه را با استفاده از یک بردار به شکل زیر نمایش می‌دهیم.
رابطه 23در نهایت این معادلات به صورت مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی در می‌آیند که می‌توان آن‌ها را به شکل خلاصه شده زیر نمایش داد.
رابطه 24در این رابطه، پارامتر b، شرایط مرزی را نمایش می‌دهد. شرایط مرزی در واقع پارامترهای معلوم مسئله در مرزها را مشخص می‌کنند. برای مثال ممکن است سرعت جریان سیال در ورودی یک لوله معلوم باشد یا دمای دیواره لوله مقدار مشخص و ثابتی داشته باشد. در این شرایط، سرعت ورودی و دمای دیواره به عنوان دو شرط مرزی در نظر گرفته می‌شوند.
در رابطه بالا، ماتریس A را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.
رابطه 25توجه کنید که سطر i ام ماتریس بالا، ضرایب مربوط به معادله دیفرانسیل معمولی پارامتر U در نقطه i را نشان می‌دهند. نکته مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که به غیر از حالاتی که در آن‌ها شرایط مرزی حضور دارد، مقدار Ai,j ضریب αj موجود در تقریب تفاضل محدود را نمایش می‌دهد.
به عنوان مثال برای یک تقریب تفاضل مرکزی، ضرایب به صورت زیر در می‌آیند.
رابطه 26 رابطه 27 رابطه 28