تالار گفتگوی کیش تک/ kishtech forum
  • سردر
  • جستجو
  • فهرست اعضا
  • سالنامه
  • راهنما
درود مهمان گرامی! ورود ثبت‌نام
ورود
نام کاربری:
گذرواژه‌:
گذرواژه‌تان را فراموش کرده‌اید؟
 
تالار گفتگوی کیش تک/ kishtech forum › پردیس فناوری کیش › مهندسی مکانیک v
« قبلی 1 … 8 9 10 11 12 … 18 بعدی »

روش تفاضل محدود 3

امتیاز موضوع:
  • 0 رأی - میانگین امتیازات: 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
حالت موضوعی
روش تفاضل محدود 3
amir315hossein آفلاین
امیرحسین جازاری
***
ارسال‌ها: 101
موضوع‌ها: 101
تاریخ عضویت: Aug 2020
اعتبار: 0
#1
24-08-2020, 12:00 AM
مثال
تقریب تفاضل محدودی برای محاسبه مشتق جزئی مرتبه اول با استفاده از چهار نقطه بنویسید.
در این قسمت برای محاسبه تقریب تفاضل محدود مشتق مرتبه اول از چهار نقطه Ui
، Ui−1 ، Ui+1 و  Ui+2
استفاده می‌شود. بنابراین در ابتدا بسط تیلور برای این چهار نقطه را به صورت زیر می‌نویسیم.
[تصویر:  Finite-Difference41.png] رابطه ۱۱ [تصویر:  Finite-Difference42.png] رابطه 12 [تصویر:  Finite-Difference43.png] رابطه 13 [تصویر:  Finite-Difference44.png] رابطه 14
در ادامه و با استفاده از رابطه‌ای که در ابتدای بخش «تقریب تفاضل محدود برای مشتق‌های مراتب بالاتر» بیان شد، تقریب تفاضل محدود را می‌نویسیم. بنابراین داریم:
[تصویر:  Finite-Difference14-1.png] رابطه 15
بنابراین با توجه به روابطی که در بالا ارائه شد، 4 ضریب مجهول در تفاضل محدود این عبارت حضور دارند. این چهار  ضریب مجهول به ترتیب  αi−1
، αi،  αi+1 و αi+2
 هستند.
در ادامه، ضرایب را طوری انتخاب می‌کنیم که ضریب Uxi برابر با ۱ و ضرایب سایر موارد موجود یعنی Ui، Uxxi و Uxxxi برابر با صفر باشد. بنابراین چهار معادله و چهار مجهول موجود است که می‌توان این دستگاه معادلات را به فرم ماتریس زیر بیان کرد.
[تصویر:  Finite-Difference15.png] رابطه 16
پاسخ این دستگاه معادلات با استفاده از روش‌های مختلف قابل محاسبه است و در نهایت مقدار هرکدام از ضرایب به صورت زیر در می‌آید.
[تصویر:  Finite-Difference16.png] رابطه 17
بر این اساس با قرار دادن ضرایب بالا در معادله اولیه، تقریب تفاضل محدود با دقت مرتبه سه برای نقاط Ui
، Ui−1 ، Ui+1 و  Ui+2
به شکل زیر در می‌آید.
[تصویر:  Finite-Difference17.png] رابطه 18
روشی که در این قسمت با جزئیات مورد بررسی قرار گرفت را می‌توان برای محاسبه تمام مشتقات جزئی و با دقت‌های مختلف (خطای برشی) مورد استفاده قرار داد و مسائل گسسته‌سازی گوناگون موجود در مکانیک سیالات ودینامیک سیالات محاسباتی را با استفاده از آن محاسبه کرد. توجه کنید که این روابط در مکانیک سیالات اهمیت بسیار زیادی دارند. زیرا معادلات ناویر-استوکس شامل ترم‌های غیر خطی هستند و برای محاسبه آن‌ها حتما باید از روش‌های عددی مختلف مانند روش تفاضل محدود استفاده کرد.
پیشنهاد ما این است که یک دور مسئله بالا را خودتان حل کنید و نتیجه آن را با حل ارائه شده در این قسمت مقایسه کنید و بعد از آن و برای تمرین بیشتر، تقریب تفاضل محدود را برای مشتق سوم در نقطه i یعنی Uxxxi با استفاده از 5 نقطه  Ui
، Ui−2، Ui−1 ، Ui+1 و  Ui+2
بنویسید. در نهایت خطای برشی و دقت رابطه به دست آمده را محاسبه کنید.
توجه کنید که تا به اینجا، تقریب تفاضل محدود را برای مسائل یک بعدی مورد بررسی قرار دادیم. در بخش بعد این تقریب را برای حالت دو بعدی تکرار می‌کنیم و مفاهیم و روابط آن را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.
تقریب تفاضل محدود در حالت دو بعدی
مشابه روندی که در بالا طی شد، ما می‌توانیم مفهوم تقریب تفاضل محدود را به فضا و حالات دو بعدی و سه بعدی نیز تعمیم دهیم. بنابراین در حالت دو بعدی و تحت شرایط ذکر شده، ساختار و شبکه حل مورد نظر خود را به شکل زیر نمایش می‌دهیم.
[تصویر:  Finite-Difference18.jpg] ساختار شبکه دو بعدی برای تقریب تفاضل محدود
پارامتری مانند U را در نظر بگیرید که مقدار آن در مختصات (i, j) با Ui,j نشان داده می‌شود. در این شرایط، تقریب تفاضل مرکزی برای مشتق مرتبه اول در راستای x و y را می‌توان با استفاده از رابطه زیر نمایش داد.
[تصویر:  Finite-Difference45.png] رابطه ۱۹ [تصویر:  Finite-Difference46.png] رابطه ۲۰
نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که مجموعه نقاطی که در تفاضل محدود دو بعدی و سه بعدی در نظر گرفته می‌شود شامل
ارسال‌ها
پاسخ
« قدیمی‌تر | جدیدتر »


موضوع‌های مشابه…
موضوع نویسنده پاسخ بازدید آخرین ارسال
  روش تفاضل محدود 5 amir315hossein 0 408 24-08-2020, 12:04 AM
آخرین ارسال: amir315hossein
  روش تفاضل محدود 4 amir315hossein 0 561 24-08-2020, 12:02 AM
آخرین ارسال: amir315hossein
  روش تفاضل محدود 2 amir315hossein 0 693 23-08-2020, 11:59 PM
آخرین ارسال: amir315hossein
  روش المان محدود (Finite Element Method) 3 amir315hossein 0 593 23-08-2020, 11:55 PM
آخرین ارسال: amir315hossein
  روش المان محدود (Finite Element Method) 2 amir315hossein 0 346 23-08-2020, 11:52 PM
آخرین ارسال: amir315hossein
  روش المان محدود (Finite Element Method) 1 amir315hossein 0 448 23-08-2020, 11:51 PM
آخرین ارسال: amir315hossein

  • مشاهده‌ی نسخه‌ی قابل چاپ
پرش به انجمن:


کاربرانِ درحال بازدید از این موضوع: 1 مهمان
  • تیم انجمن
  • صفحه‌ی تماس
  • تالار کیش تک / kishtech forum
  • بازگشت به بالا
  • بایگانی
  • نشانه‌گذاری تمامی انجمن‌ها به عنوان خوانده شده
  • پیوند سایتی RSS
زمان کنونی: 22-05-2025، 06:25 PM Persian Translation by MyBBIran.com - Ver: 6.5
Powered by MyBB, © 2002-2025 MyBB Group.