خرپا

[amirhossein toranjian]

خرپا
در این مطلب در مورد مفاهیم بنیادین استاتیک بحث می شود. 
خرپا چیست؟
خرپا سازه‌ای چند عضوی است که تمامی بخش‌های آن به یکدیگر پین شده‌اند. معنی پین این است که در هیچ مفصلی گشتاوری وجود ندارد؛ بنابراین در خرپا فقط نیرو وجود دارد. در شکل زیر می‌توانید یک خرپا و نیروهای خارجی وارد شده به آن را ببینید.

روش‌های تحلیل نیرو در خرپا

در حالت کلی به‌منظور تحلیل نیروهای موجود در یک خرپا از دو روش «مفاصل» (Joints) و «مقاطع» استفاده می‌شود. در هر خرپا با اعمال نیروی خارجی، درون هر عضو نیرویی ایجاد خواهد شد. برای مثال در خرپای شکل بالا که دو نیروی F۲ ،F۱ و F3 به آن وارد می‌شود، نیروهایی مطابق شکل زیر، در آن ایجاد شده است.

روش مفاصل

در این روش هر مفصل را به صورت تنها تصور کنید؛ سپس برآیند تمامی نیروهای وارد شده به آن را صفر قرار دهید. بنابراین به منظور تحلیل نیرویی خرپا با استفاده از روش مفاصل، به ترتیب زیر عمل کنید:

هر مفصل را به صورت جدا تصور کنید.

نیروهای وارد شده به مفصل را معین کنید.

برآیند نیروهای رسم شده روی مفصل را در راستای x و y برابر با صفر قرار دهید.

برای درک بهتر این روش، به مثال‌های ارائه شده در انتهای این مطلب مراجعه فرمایید.

روش مقاطع

در این روش بخشی از خرپا جدا شده و به عنوان سیستم در نظر گرفته می‌شود. سپس برآیند نیروها و گشتاورهای وارد شده به آن برابر با صفر قرار داده شده و نیروهای مجهول در مسئله بدست می‌آیند. بنابراین برای بدست آوردن نیروهای مجهول موجود در یک خرپا به ترتیب زیر عمل کنید:

انتخاب بخشی مناسب از خرپا به عنوان سیستم (این مفهوم در مثال‌های ارائه شده در پایین، به شکلی دقیق‌تر توضیح داده شده)

قرار دادن تمامی نیروهای – خارجی – وارد شده به سیستم انتخاب شده

نوشتن معادله تعادل گشتاور و نیرو برای سیستم مفروض و محاسبه نیروهای مجهول قرار گرفته روی آن

نکات کاربردی و مهم در تحلیل نیرویی خرپا

توجه داشته باشید که همواره در تحلیل نیرویی خرپا، روش‌هایی میانبر وجود خواهند داشت. از این رو در این قسمت نکاتی مهم در مورد تحلیل نیرویی یک خرپا، در زمان کم‌تر را ارائه خواهیم داد.

۱. اعضای خنثی در خرپا
در یک خرپا ممکن است اعضایی وجود داشته باشند که نیرویی را حمل نکنند. این جمله به این معنی است که در عضو مد نظر نیرویی وجود ندارد. در حقیقت می‌توان خرپا را بدون آن عضو تصور کرد. برای مثال در شکل زیر اعضایی که به رنگ آبی، قرمز و صورتی مشخص شده‌اند، نیرویی را در خود حس نمی‌کنند. [می‌توان تصور کرد که این اعضا در خرپا وجود ندارند.]

اجازه دهید مفهوم عضو خنثی را دقیق‌تر توضیح دهیم. در شکل بالا عضو B را بیرون کشیده و نیروهای وارد شده به مفصل را روی آن قرار می‌دهیم. در شکل زیر این کار انجام شده.

طبق مفاهیم بیان شده در مطلب مفاهیم استاتیک، بایستی برآیند نیروهای وارد شده به مفصل، در هر دو راستای x و y صفر باشد. بنابراین معادله تعادل نیرویی در راستای y برای این مفصل را می‌توان به صورت زیر نوشت.
0=Fy=0→                    FABcos( theta)=0→              FAB∑
۲. نیروهای دو عضوی که در یک راستا قرار گرفته‌اند
یک مفصل در خرپا ممکن است به شکلی قرار گیرد که فقط نیرو را از عضوی به عضو مقابل خود انتقال دهد. برای مثال در شکل زیر هیچ تغییری در نیروهای اطراف مفصل اتفاق نمی‌افتد و فقط نیرو در دو عضوی که در مقابل هم قرار دارند، منتقل می‌شود. برای نمونه در این خرپا روابط F1=F3 و F4=F2 برقرار هستند.

مثلا در این مفصل نیروهای F1 و F3 در راستای X قرار گرفته‌اند و به همین دلیل با هم برابر هستند.

۳. خرپای معین و نامعین
توجه داشته باشید که همواره به منظور تحلیل یک خرپا بایستی تعداد معادلات و تعداد نیروها با یکدیگر برابر باشند. برای بررسی این موضوع اجازه دهید چند نمونه را بررسی کنیم. شکل زیر را در نظر بگیرید. می‌خواهیم تعداد نیروهای مجهول در این سازه و تعداد معادلاتی که می‌توان برای آن نوشت را مورد بررسی قرار دهیم. به نظر شما برای تحلیل این خرپا، چند نیروی مجهول وجود دارد.

نیروهای مجهول در شکل خرپای بالا:
Ay,FAE,FBE,FBC,FAB,FCD,FCE,FED,Dy,Dx

در حقیقت هر عضو یک نیرو را شامل می‌شود و ۳ عکس العمل تکیه گاه در A و D [یک نیرو در A و دو نیرو در D] وجود دارند. بنابراین کلا ۱۰ نیرو بایستی محاسبه شود. هم‌چنین این خرپا از ۵ مفصل تشکیل شده که در هرکدام از آن‌ها می‌توان ۲ معادله تعادل نیرویی، در راستای x و y نوشت. در نتیجه می‌توان ۱۰ معادله تعادل نیرویی، برای خرپا نوشت. به طور خلاصه می‌توان گفت: ۱۰ مجهول و ۱۰ معادله برای این خرپا وجود دارد. به چنین سازه‌هایی، معین گفته می‌شود.
حال می‌خواهیم شما را به چالش بکشیم. بدین منظور خرپای زیر را در نظر بگیرید. به نظر شما در این خرپا چند نیرو وجود دارد؟ همچنین چند معادله می‌توان نوشت؟

نیروهای مجهول در این خرپا عبارتند از:
Ax,Ay,Dx,Dy,FAB,FAC,FBC,FCD,FDB
بنابراین ۹ نیروی مجهول در این خرپا وجود دارد. هم‌چنین معادلاتی را که می‌توان برای این خرپا نوشت به شرح زیر هستند.

این خرپا از ۴ مفصل تشکیل شده که بررای هرکدام از آن‌ها می‌توان دو معادله تعادلی را نوشت. بنابراین ۸=۲×۴ معادله می‌توان برای این خرپا نوشت.

در نتیجه این خرپا دارای ۹ مجهول است؛ در حالی که می‌توان ۸ معادله برای آن نوشت. به خرپایی که تعداد معادلات آن از تعداد نیروهای مجهولش کمتر باشد، خرپای نامعین گفته می‌شود.

به منظور تحلیل نیرویی خرپای بالا، یکی از عضو‌های AC یا BD بایستی حذف شود [با این کار یک مجهول از معادلات کنار رفته و تعداد مجهولات و معادلات با هم برابر می‌شود].

۴. مکانیزم

در بالا به این نکته اشاره کردیم که اگر تعداد مجهولات در یک خرپا بیشتر از معادلاتش باشد، به آن نامعین گفته می‌شود و به منظور تحلیل نیرویی، بایستی یکی از عضوهای خرپا را حذف کرد. حال شرایطی برعکس را تصور کنید. یعنی فرض کنید که در یک خرپا تعداد معادلات، از تعداد مجهولات بیشتر باشد. برای نمونه شکل زیر را تصور کنید.

نیروهای مجهول در این سازه عبارتند از:

Ax,Ay,Dx,Dy,FAB,FBC,FCD

بنابراین این سازه دارای ۷ نیروی مجهول است.

از طرفی این سازه دارای ۴ مفصل است که برای هر کدام از آن‌ها می‌توان دو معادله تعادل، در راستای x و y نوشت؛ در نتیجه ۸=2×۴ معادله قابل بیان هستند. بنابراین این سازه دارای ۸ معادله و ۷ مجهول است. جالب است چرا که تعداد معادلات از تعداد مجهولات بیشتر شده.

به سازه‌ای که در آن تعداد معادلات نیرویی از تعداد نیروهای مجهول بیشتر باشد، مکانیزم گفته می‌شود. چنین سازه‌ای قابلیت تحمل بارگذاری را نداشته و می‌تواند با گذشت زمان تغییر شکل دهد.

انیمیشن زیر نشان می‌دهد که چگونه این خرپا ناپایدار بوده و با اعمال نیرو به حرکت در می‌آید.