بهینه سازی

[فاطمه رمضانی]

 

منظور از بهينه سازي يک سامانه کمينه يا بيشينه کردن تابعي است که اين تابع معياري از عملکرد سامانه مي باشد. اين عمل در نهايت به بهبود کارايي سامانه مي انجامد. در طراحي آيروديناميکي اين تابع مي تواند ضريب برآ، ضريب پسا، نسبت ضريب برآ به ضريب پسا و يا تابع ديگري باشد. در گذشته طراحان براي طراحي آيروديناميکي بهينه نياز به ساخت مدل هاي بسياري براي تست در تونل باد داشتند تا بدين وسيله بتوانند عملکرد طراحي نهايي را تاييد کنند. توسعه ديناميک سيالات محاسباتي در چند دهه گذشته اين امکان را فراهم کرد که طراحان از طريق شبيه سازي عددي، طراحي ها را با سرعت بيشتري انجام دهند. با اين وجود، اين روش نيز شامل يک فرآيند سعي و خطا است و در بسياري از موارد به سامانه بهينه منجر نمي­شود.

به طور کلي مي توان از سه مرحله مهم براي بهينه سازي يک سامانه نام برد:

[list]
 مرحله اول درک سامانه و متغيرهاي مختلفي است که بر روي آن تاثير مي گذارند. مرحله دوم انتخاب تابعي به عنوان معيار عملکرد سامانه است. اين معيار به متغيرهاي سامانه وابسته است و تاثير زيادي روي کارآيي سامانه دارد. مرحله سوم انتخاب مقدار متغيرهاي سامانه است و اين انتخاب به گونه اي است که سامانه بهينه مي شود.[/list]

در مرحله اول طراح بايد درک صحيحي از سامانه، نحوه عملکرد آن، متغيرهاي مختلف تاثير گذار بر سامانه و تاثير متقابل متغيرها بر روي يکديگر داشته باشد. در مرحله دوم بايد معيار عملکرد سامانه تعريف شود. در طراحي هواپيما و بالگرد  انتخاب هاي گوناگوني در اين زمينه وجود دارد. براي مثال نسبت ضريب برآ به ضريب پسا مي تواند معيار عملکرد يک هواپيما باشد. در حالت کلي انتخاب معيار عملکرد به ماموريتي که بر عهده هواپيما مي باشد بستگي دارد. در مرحله سوم، طراح با استفاده از يک روش بهينه سازي مناسب به جستجوي مقادير بهينه براي متغيرهاي طراحي مي پردازد. انتخاب روش بهينه سازي به عواملي نظير خطي بودن مساله، تعداد متغيرهاي طراحي، تعداد توابع هزينه و مقيد يا غير مقيد بودن مساله بستگي دارد. منظور از تابع هزينه تابعي است که معياري براي کارايي سامانه مي باشد. در طراحي مهندسي گاهي لازم است قيدهايي را به مساله تحميل کنيم. مثلا ممکن است بخواهيم بال يا پره را به گونه اي طراحي کنيم که ضخامت آن از مقدار معيني بيشتر يا کمتر شود. به اين نوع طراحي، طراحي مقيد گفته مي شود. اما در طراحي غير مقيد، قيدي به مساله اعمال نمي­شود.

   
 

روش هاي بهينه سازي را مي توان به دو گروه کلي دسته بندي کرد:

[list]
روش هاي غير مبتني بر محاسبه گراديان ها  روش هايي که بر مبناي محاسبه گراديان ها مي باشند. [/list]

 در روش هاي نوع اول هيچ اطلاعاتي از گراديان هاي تابع هزينه نسبت به متغيرهاي طراحي در خلال فرآيند بهينه سازي لازم نيست. و جستجو براي رسيدن به نقطه بهينه با مقايسه مقادير تابع هزينه در نقاط طراحي مختلف انجام مي شود. روش هاي جستجوي تصادفي مانند الگوريتم ژنتيک و روش هاي بهينه سازي آنيلينگ در اين دسته قرار مي گيرند. در روش هاي نوع دوم گراديان هاي تابع هزينه نسبت به متغيرهاي طراحي نقشي اساسي را در فرآيند بهينه سازي ايفاء مي کنند. روش هاي تفاضل محدود و بسط سري تيلور مختلط از اين نوع هستند. در اين روش ها بعد از محاسبه مشتقات تابع هزينه نسبت به متغيرهاي طراحي، با استفاده از يک الگوريتم مرتبه اول يا دوم جستجو براي يافتن مقادير بهينه آغاز مي شود. در الگوريتم هاي مرتبه اول تنها مشتق اول تابع هزينه نسبت به متغيرهاي طراحي لازم است. به عنوان مثال مي توان به الگوريتم سريع ترين شيب اشاره کرد. در اين الگوريتم جستجو در جهت منفي بردار گراديان انجام مي شود. در الگوريتم هاي مرتبه دوم علاوه بر مشتق اول، مقادير مشتق دوم تابع هزينه نسبت به متغيرهاي طراحي نيز مورد نياز مي باشد. الگوريتم هاي شبه نيوتني از اين نوع هستند.

 

 روند کلی بهینه سازی گرادیانی

[list=1]
محاسبه گراديانجستجوي خطي در راستاي تندترين شيب نزولي و يا يک راستاي بهبود يافته بر مبناي تخمين هسيان[1][/list]

 

اين متد تا وقتي که تابع هزينه را بتوان به سادگي محاسبه کرد، به خوبي کار مي کند اما در مورد طراحي با استفاده از معادلات ناوير  استوکس و يا اويلر و در حالت تعداد زياد متغيرهاي طراحي صدق نمي کند. روش الحاقي[font=Tahoma][2][/font] يک استراتژي به منظور کاستن از هزينه محاسبه گراديان ها است و به منظور احتراز از جستجوي خطي از يک فرآيند نزولي پيوسته به همراه هموارسازي گراديان بهره مي گيرد.

روش هاي جستجوي خطي مستلزم آن هستند که راستايي توسط الگوريتم انتخاب و در طول آن جستجو آغاز شود و اين کار با انجام تکرار تا رسيدن به مقدار جديدي براي تابع هدف صورت مي گيرد. با انتخاب شدن راستاي جستحو، يک طول گام در راستاي جستجو ضرب شده تا عمل بهينه سازي به تکرار بعدي پيش رود. اين راستاي جستجو در جهت منفي گراديان تابع هدف در هر تکرار مي باشد. در روش جستجوي خطي، طول گام به گونه­اي انتخاب مي شود که حداکثر کاهش تابع هدف را باعث شود. راه حل ديگر سعي در دنبال کردن يک مسير پيوسته در راستاي تندترين شيب و در يک سري گام هاي متوالي خيلي کوچک است.

در سال هاي اخير بهينه سازي به موضوعي مورد علاقه براي محققان ايراني تبدل شده است و کارهاي خوبي در اين سال ها مشاهده مي شود.

[list]
قدک در [5] به بهينه سازي جريان هاي داخلي پرداخته است. در اين رساله از روشي کاملا کوپل که روش طراحي مستقيم ناميده شده، براي طراحي مرزهاي جريان استفاده شده است. در اين روش فشار روي ديواره ها و همچنين مختصات هندسي گره هاي مرزي به طور صريح در معادلات آورده شده است. فرم نهايي معادلات مجزاسازي شده مي تواند براي حل معادلات آناليز و همچنين معادلات طراحي مورد استفاده قرار گيرد. هر قسمت اين رساله شامل دو بخش نسبتا مستقل که دربر گيرنده معادلات طراحي بر اساس معادله لاپلاس (جريان ايده آل) و معادلات طراحي بر اساس معادلات اويلر (جريان تراکم پذير غير لزج) مي باشد. معادلات طراحي مستقيم در هر دو بخش در حالت جريان دو بعدي حل شده، به گونه اي که فرم بدست آمده شامل توزيع فشار مطلوب روي ديواره ها مي باشد. از روش حجم محدود سلول گوشه و شبکه عمود بر مرز براي حل معادله لاپلاس بهره گرفته شده است. نتايج نشان مي دهد که اين روش قابليت تسخير نقطه سکون که همواره چالشي در روش هاي طراحي بوده را داراست. همچنين، از روش حجم محدود سلول مرکز براي حل معادلات اويلر استفاده شده است. چگونگي خطي سازي و اعمال شرط مرزي اضافي در اين رساله مورد بحث قرار گرفته است. بررسي هاي صورت گرفته براي اثبات عملکرد روش و همچنين طراحي هاي جديد بيانگر استحکام و انعطاف پذيري روش، به گونه اي که قابليت تسخير موج ضربه اي را نيز داراست، مي باشد. علاوه بر اين، نشان داده شده که هزينه محاسباتي روش طراحي مستقيم حاضر در حدود هزينه محاسباتي روش آناليز (حل عددي جريان مربوطه با مرزهاي معلوم) مي باشد.اشرفي زاده در [13]، [14] و [15] از روش هاي کاملا کوپل (مستقيم) در بهينه سازي استفاده کرده و در آن مختصات هندسي همه نقاط شبکه در فضاي مجزا سازي به صورت مجهول در نظر گرفته شده و بطور مستقيم در حل مسايل طراحي شکل بدست مي آيد. در اين روش از مفهومي به نام اسپاين[3] استفاده شده که در سادگي معادلات و افزايش کارايي روش نقش بسزايي داشته است. تمام کارهاي اشرفي زاده محدود به معادله لاپلاس بوده است.خياط زاده در [4] به بهينه سازي اشکال آيروديناميکي با استفاده از الگوريتم ژنتيک ساده اصلاح شده پرداخته است. الگوريتم هاي ژنتيك، نمونه اي از استراتژي هاي تکاملي در بهينه سازي هستند که در مسايل پيچيده بهينه سازي استفاده مي گردند. اين الگوريتم ها با وجود تصادفي بودنشان، داراي پيشرفت غير تصادفي ساده اي مي‌باشند و به طور كارآيي، اطلاعات گذشته را براي يافتن نقاط جديد به كار مي گيرند. اين الگوريتم ها با استفاده از تابع هدفي که امکان حل عددي جريان را براي يک شکل آيروديناميکي داشته باشد، مي توانند به منظور بهينه سازي آن شکل به کار روند. در اين تحقيق براي حل عددي جريان جملات غير لزج معادلات ناوير  استوکس توسط روش حجم محدود بر پايه روش تجزيه بردار شار رو و جملات لزج نيز از روش تفاضل مرکزي محاسبه شده اند. در ضمن به منظور جلوگيري از توليد مجدد شبکه از روش آنالوژي فنر استفاده گرديده است. الگوريتم ژنتيک استفاده شده ساده و مجهز به سه عملگر تکثير، ترکيب و جهش مي باشد که از نخبه گرايي هم بهره برده است.  به منظور دست يابي به حداکثر سرعت همگرايي الگوريتم و حداقل کردن تعداد فراخواني هاي حلگر عددي جريان پارامترهاي الگوريتم ژنتيک مانند احتمال ترکيب، جهش و تعداد جمعيت براي رژيم­هاي مختلف جريان اصلاح شده­اند.نتايج حاصل از بهينه سازي اشکال مختلف آيروديناميکي براي هر دو نوع جريان لزج و غير لزج حاکي از کارآيي و توانايي بالاي الگوريتم ژنتيک ساده اصلاح شده در حل مسايل بهينه سازي مطروحه در ديناميک سيالات عددي مي باشد.[/list]

[list]
اپستين و پيجين در [6] از روشي دقيق و کارآ براي بهينه سازي ايرفويل ها با هدف رسيدن به پسا کمينه استفاده کرده اند. در حقيقت اين کار کامل کردن کار پيشين آنها که روي ايرفويل هاي دو بعدي صورت گرفته بود براي ايرفويل هاي سه بعدي است. هدف اين کار رسيدن به کمينه پسا با قيد برآ ثابت بوده است. روند کاري آنها بر اساس استفاده از الگوريتم ژنتيک به عنوان روش بهينه سازي و حل معادلات کامل ناوير استوکس براي پيش بيني دقيق پسا و همچنين استفاده از پردازش موازي بوده است. براي ايرفويل هاي آزمايش شده نتايج قابل توجهي بدست آمده است. [/list]

ضريب فشار روي ايرفويل اصلي

توزيع فشار روي بال اصلي

ضريب فشار روي ايرفويل بهينه شده

توزيع فشار روي بال بهينه شده

[list]
فازولاري و همکارانش در [9] به بررسي مشکلات موجود در بهينه سازي اشکال آيروديناميکي پرداخته اند. از نظر آنها مشکل اينگونه از بهينه سازي ها علاوه بر در نظر گرفتن نيروهاي آيروديناميکي، بررسي سازه اي اشکال آيروديناميکي مي باشد. در اين مقاله حساسيت بهينه سازي به چنين عواملي مورد بررسي قرار گرفته است. به دليل هزينه هاي بالاي تحليل­هاي اختلاف محدود از يک روش الحاقي براي تحليل چنين حساسيتي استفاده شده است.کارپنتري و همکارانش در [10] روش الحاقي را در حالت دو بعدي براي معادلات اويلر و بر روي شبکه بي سازمان پياده سازي کرده اند. معادلات الحاقي با همان روش ضمني که در حل معادلات جريان مورد استفاده قرار گرفته حل شده اند. روش هاي به کار گرفته شده در اين مقاله روي ايرفويل هاي گذر صوتي و مافوق صوت مورد آزمايش قرار گرفته است. نتايج بدست آمده کارايي و صحت نتايج حاصله از روش الحاقي در بهينه سازي را نشان داده است.[/list]

بهينه سازي ايرفويل NACA64A410 در ماخ 75/0

در ادامه به منظور آشنايي با موضوع و اينکه چه حجمي از کارها در داخل و خارج از کشور انجام شده و يا در حال انجام است نمونه هايي از پروژه­هاي دانشجويي مرتبط در دانشگاه صنعتي شريف و همچنين مقالات چاپ شده در مجلات معتبر علمي آورده شده است.

 

---

[1] - Hessian

[2] - Adjoint Method

[3] - Spine


 اهدافي که براي اين مرکز پيش بيني مي شود به شرح زير است.
[list]
[*]توسعه الگوريتم هاي مرتبط با بهينه سازي
[*]کاربرد الگوريتم هاي توسعه داده شده در مسايل صنعتي
[list]
[*]بهينه سازي ايروديناميک خارجي اجسام از جمله شکل RPV ها، خودروها، بال سه بعدي و ...
[*]بهينه سازي جريان داخلي از جمله شکل دهانه موتورها، کانال ها، و ديفيوزرها و ...
[*]بهينه سازي اجسام با شکل متغير از جمله پره هاي هليکوپتر، بالزن ها و ...
[*]بهينه سازي توربو ماشين ها (ملخ، پره هاي توربين بادي و ...)
[/list]
[*]توسعه سخت افزار براي حل مسايل پيچيده (مانند پردازش موازي)
[/list]  

 
1)      فضاي فيزيکي مناسب (حداقل m2 20 به طور موقت)
2)      امکانات محدود اداري
3)      چهار کامپيوتر مناسب
4)      پرينتر

 
1)      حسن هلالي، "بهينه سازي شکل در پره هاي انتقال حررات"،  پايان نامه کارشناسي ارشد دانشگاه صنعتي شريف، دانشکده مکانيک، 1372.
2)   محمد جواد تقوايي ، "ارائه يک روش محاسباتي براي بهينه‌سازي شکل ايرفويل در جريان تراکم‌پذير و لزج"، پايان نامه کارشناسي ارشد دانشگاه صنعتي شريف، دانشکده هوافضا، 1381.
3)   سيد شفاءالدين حسيني نژاد، "مدل‌سازي عددي و بهينه‌سازي فرآيند اختلاط در يک جريان آشوبناک بااستفاده از الگوريتم ژنتيک"، پايان نامه کارشناسي ارشد دانشگاه صنعتي شريف، دانشکده هوافضا، 1383.
4)   پيمان خياط زاده، "بهينه‌سازي شکل ايرفول‌هاي دوبعدي با استفاده از الگوريتم ژنتيک ساده اصلاح‌شده"،  پايان نامه کارشناسي ارشد دانشگاه صنعتي شريف، دانشکده هوافضا، 1386.
5)   فر هاد قدک، "طراحي مستقيم بر اساس معادلات لاپلاس و اويلر با کاربرد در جريانهاي داخلي مادون و مافوق صوت"، پايان نامه دکتري دانشگاه صنعتي شريف، دانشکده هوافضا، 1385.

6)       Boris Epstein, Sergey Peigin, “Accurate CFD driven optimization of lifting surfaces for wing-body configuration”, J. of computers & fluids 36 (2007) 1399-1414.

7)       Ava Shahrokhi, Alireza Jahangirian, “Airfoil shape parameterization for optimum Navier–Stokes design with genetic algorithm”, J. of Aerospace Science and Technology 11 (2007) 443–450.

8)       S. Jakobsson, O. Amoignon, “Mesh deformation using radial basis functions for gradient-based aerodynamic shape optimization", J. of Computers & Fluids 36 (2007) 1119–1136

9)       Antonio Fazzolari, Nicolas R. Gauger, Joël Brezillon, “Efficient aerodynamic shape optimization in MDO context”, Journal of Computational and Applied Mathematics 203 (2007) 548 – 560

10)   G. Carpentieri, B. Koren, M.J.L. van Tooren, “Adjoint-based aerodynamic shape optimization on unstructured meshes”, Journal of Computational Physics 224 (2007) 267–287

11)   Matteo Beccaria, Guido Buresti, Alberto Ciampa, Giovanni Lombardi, Wolfgang Gentzsch, Hans-Georg Paap, Andrea Vicer´e, “High-performance road-vehicle optimised aerodynamic design: Application of parallel computing to car design”, J. of Future Generation Computer Systems 15 (1999) 323–332

12)   M. Jureczko, M. Pawlak, A. M˛e˙zyk, “Optimization of wind turbine blades”, Journal of Materials Processing Technology 167 (2005) 463–471

13)   Ashrafizadeh, A., Raithby, G.D, and Stubley, G.D, (2002), “Direct Deign of Shape”, J. Numerical Heat Transfer, Part B, Vol. 41, No. 6, pp. 501-510

14)   Ashrafizadeh, A., Raithby, G.D, and Stubley, G.D, (2003), “Direct Deign of Ducts”, J. Fluids Engineering, ASME Transaction, Vol. 125, pp. 158-165.

15)   Ashrafizadeh, A., Raithby, G.D, and Stubley, G.D, (2004), “Direct Deign of Airfoil Shape with a Prescribed Surface Pressure”, J. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals, Vol. 46, No. 6, pp. 505-527