14-08-2020, 02:20 PM
در طبیعت، رزونانس یا تشدید در موقعیت‌های مختلفی رخ می‌دهد. هر سیستم مکانیکی تمایل دارد در برخی از فرکانس‌ها، با بیشترین دامنه ممکن نوسان کند. به این وضعیت، رزونانس (تشدید) و به این فرکانس‌ها، فرکانس رزونانس (فرکانس تشدید) گفته می‌شود. در حالت کلی، فرکانس تشدید همان فرکانس طبیعی سیستم است. رفتار سیستم در فرکانس رزونانس (یا نزدیک آن) به طرز عجیبی با رفتار سیستم در فرکانس‌های دیگر متفاوت است. با وقوع پدیده رزونانس، ارتعاش ضعیف در یک جسم، می‌تواند منجر به ارتعاش قوی در جسم دیگری شود.
پدیده رزونانس در زندگی روزمره
پدیده رزونانس، همیشه اتفاق بدی به حساب نمی‌آید. کودکی را در نظر بگیرید که سوار تاب است و کسی هم او را هل نمی‌دهد. کودک شروع به تاب دادن خودش به سمت عقب و جلو می‌کند. اگر این کار را با فرکانس درستی انجام دهد، پس از مدت کوتاهی، مطابق شکل زیر، تاب با دامنه زیاد در حال جلو و عقب رفتن خواهد بود. به این نکته توجه کنید که نیرویی که کودک در این فرآیند مصرف می‌کند، کوچک است. ولی نتیجه این عمل، دامنه‌های بزرگی را تشکیل می‌دهد.
![[تصویر: 1-resonance-definition-1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/02/1-resonance-definition-1.jpg)
به عنوان مثالی دیگر از این پدیده، پیچ تنظیم رادیو را در نظر بگیرید. با چرخاندن پیچ تنظیم، در واقع در حال تغییر فرکانس طبیعی مدار الکتریکی رادیو هستیم. هنگامی که این فرکانس طبیعی با فرکانس ایستگاه رادیویی مورد نظر یکسان شود، جذب انرژی به مقدار بیشینه می‌رسد و فقط صدای همان ایستگاه رادیویی را خواهیم شنید.
در سوی مقابل، رزونانس آثار مخرب بسیاری دارد. هنگامی که زلزله رخ می‌دهد، برخی ساختمان‌ها فرو می‌ریزند. در حالی که برخی دیگر از ساختمان‌ها پابرجا مانده‌اند. یکی از عوامل تعیین کننده در این فروپاشی، فرکانس رزونانس یا فرکانس طبیعی ساختمان است. اگر فرکانس ارتعاش زمین با فرکانس طبیعی ساختمان یکی شود، ساختمان بیشترین دامنه نوسان و شدیدترین خسارت را تجربه خواهد کرد. در سال 1940 میلادی پل «تاکوما ناروز» (Tacoma Narrows) در معرض بادی با سرعت 64 کیلومتر در ساعت قرار گرفت. یکی بودن فرکانس باد و فرکانس طبیعی پل موجب افزایش دامنه نوسان پل و در نهایت، تخریب آن شد.
مثال جرم و فنر زیر را در نظر بگیرید.معادله دیفرانسیل زیر را برای ارتعاش اجباری می‌توان نوشت. در این رابطه، k
ثابت فنر، c ضریب میرایی و m جرم وزنه‌ایست که نیروی خارجی F
به آن وارد شده است.
![[تصویر: 2-spring-force.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/02/2-spring-force.jpg)
mx′′+cx′+kx=F(t)
پس از یادگیری سری فوریه می‌توانیم برای تمام توابع نوسانی، عبارت F(t)=F0cos(ωt)
را در نظر بگیرید. همچنین می‌توان به جای کسینوس، از تابع سینوسی استفاده کرد. نتایج در هر دو حالت یکی است. ادامه تحلیل را در دو بخش زیر ادامه می‌دهیم.
محاسبه رزونانس در ارتعاش اجباری نامیرا
در این حالت برای سادگی، ارتعاش را نامیرا فرض می‌کنیم. با جایگذاری c=0
معادله حرکت به صورت زیر ساده می‌شود.
mx′′+kx=F0cos(ωt)
پاسخ عمومی معادله بالا به صورت زیر به دست می‌آید.
xc=C1cos(ωnt)+C2sin(ωnt)
در این رابطه، ωn=√km
فرکانس طبیعی سیستم است. فرکانس طبیعی، فرکانسی است که سیستم تمایل دارد در غیاب نیروی خارجی نوسان کند. فرض می‌کنیم ωn≠ω و با استفاده از xp=Acos(ωt) معادله را برای A
حل می‌کنیم. با استفاده از روش ضرایب نامعین،جواب خصوصی به صورت زیر حاصل می‌شود.
xp=F0m(ωn2−ω2)cos(ωt)
در نتیجه، جواب کلی به شکل زیر است.
x=C1cos(ωnt)+C2sin(ωnt)+F0m(ωn2−ω2)cos(ωt)
جواب کلی را می‌توان به صورت ساده شده زیر هم نوشت.
x=Ccos(ωnt−y)+F0m(ωn2−ω2)cos(ωt)
همان‌طور که می‌بینید، پاسخ به دست آمده، بر هم‌کنش دو موج کسینوسی با فرکانس‌های متفاوت است.
مثال
پیش از آنکه این بخش را به پایان برسانیم، به مثال زیر توجه کنید. معادلات حرکت به صورت زیر داده شده‌اند.
0.5x′′+8x=10cos(πt),x(0)=0,x′(0)=0
با مقایسه این معادلات با معادلات حرکت، برخی پارامترها به صورت زیر قابل استخراج هستند.
ω=π,ωn=√80.5=4,F0=10,m=0.5
در نتیجه، جواب کلی به شکل زیر است.
x=C1cos(4t)+C2sin(4t)+2016−π2cos(πt)
با استفاده از شرایط اولیه، مقادیر C1
و C2
محاسبه شده و جواب به صورت زیر ساده می‌شود. نمودار جواب به دست آمده، در ادامه نشان داده شده است.
x=2016−π2(cos(πt)−cos(4t))
![[تصویر: 1-1-1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/02/1-1-1.jpg)
پدیده رزونانس در زندگی روزمره
پدیده رزونانس، همیشه اتفاق بدی به حساب نمی‌آید. کودکی را در نظر بگیرید که سوار تاب است و کسی هم او را هل نمی‌دهد. کودک شروع به تاب دادن خودش به سمت عقب و جلو می‌کند. اگر این کار را با فرکانس درستی انجام دهد، پس از مدت کوتاهی، مطابق شکل زیر، تاب با دامنه زیاد در حال جلو و عقب رفتن خواهد بود. به این نکته توجه کنید که نیرویی که کودک در این فرآیند مصرف می‌کند، کوچک است. ولی نتیجه این عمل، دامنه‌های بزرگی را تشکیل می‌دهد.
به عنوان مثالی دیگر از این پدیده، پیچ تنظیم رادیو را در نظر بگیرید. با چرخاندن پیچ تنظیم، در واقع در حال تغییر فرکانس طبیعی مدار الکتریکی رادیو هستیم. هنگامی که این فرکانس طبیعی با فرکانس ایستگاه رادیویی مورد نظر یکسان شود، جذب انرژی به مقدار بیشینه می‌رسد و فقط صدای همان ایستگاه رادیویی را خواهیم شنید.
در سوی مقابل، رزونانس آثار مخرب بسیاری دارد. هنگامی که زلزله رخ می‌دهد، برخی ساختمان‌ها فرو می‌ریزند. در حالی که برخی دیگر از ساختمان‌ها پابرجا مانده‌اند. یکی از عوامل تعیین کننده در این فروپاشی، فرکانس رزونانس یا فرکانس طبیعی ساختمان است. اگر فرکانس ارتعاش زمین با فرکانس طبیعی ساختمان یکی شود، ساختمان بیشترین دامنه نوسان و شدیدترین خسارت را تجربه خواهد کرد. در سال 1940 میلادی پل «تاکوما ناروز» (Tacoma Narrows) در معرض بادی با سرعت 64 کیلومتر در ساعت قرار گرفت. یکی بودن فرکانس باد و فرکانس طبیعی پل موجب افزایش دامنه نوسان پل و در نهایت، تخریب آن شد.
مثال جرم و فنر زیر را در نظر بگیرید.معادله دیفرانسیل زیر را برای ارتعاش اجباری می‌توان نوشت. در این رابطه، k
ثابت فنر، c ضریب میرایی و m جرم وزنه‌ایست که نیروی خارجی F
به آن وارد شده است.
mx′′+cx′+kx=F(t)
پس از یادگیری سری فوریه می‌توانیم برای تمام توابع نوسانی، عبارت F(t)=F0cos(ωt)
را در نظر بگیرید. همچنین می‌توان به جای کسینوس، از تابع سینوسی استفاده کرد. نتایج در هر دو حالت یکی است. ادامه تحلیل را در دو بخش زیر ادامه می‌دهیم.
محاسبه رزونانس در ارتعاش اجباری نامیرا
در این حالت برای سادگی، ارتعاش را نامیرا فرض می‌کنیم. با جایگذاری c=0
معادله حرکت به صورت زیر ساده می‌شود.
mx′′+kx=F0cos(ωt)
پاسخ عمومی معادله بالا به صورت زیر به دست می‌آید.
xc=C1cos(ωnt)+C2sin(ωnt)
در این رابطه، ωn=√km
فرکانس طبیعی سیستم است. فرکانس طبیعی، فرکانسی است که سیستم تمایل دارد در غیاب نیروی خارجی نوسان کند. فرض می‌کنیم ωn≠ω و با استفاده از xp=Acos(ωt) معادله را برای A
حل می‌کنیم. با استفاده از روش ضرایب نامعین،جواب خصوصی به صورت زیر حاصل می‌شود.
xp=F0m(ωn2−ω2)cos(ωt)
در نتیجه، جواب کلی به شکل زیر است.
x=C1cos(ωnt)+C2sin(ωnt)+F0m(ωn2−ω2)cos(ωt)
جواب کلی را می‌توان به صورت ساده شده زیر هم نوشت.
x=Ccos(ωnt−y)+F0m(ωn2−ω2)cos(ωt)
همان‌طور که می‌بینید، پاسخ به دست آمده، بر هم‌کنش دو موج کسینوسی با فرکانس‌های متفاوت است.
مثال
پیش از آنکه این بخش را به پایان برسانیم، به مثال زیر توجه کنید. معادلات حرکت به صورت زیر داده شده‌اند.
0.5x′′+8x=10cos(πt),x(0)=0,x′(0)=0
با مقایسه این معادلات با معادلات حرکت، برخی پارامترها به صورت زیر قابل استخراج هستند.
ω=π,ωn=√80.5=4,F0=10,m=0.5
در نتیجه، جواب کلی به شکل زیر است.
x=C1cos(4t)+C2sin(4t)+2016−π2cos(πt)
با استفاده از شرایط اولیه، مقادیر C1
و C2
محاسبه شده و جواب به صورت زیر ساده می‌شود. نمودار جواب به دست آمده، در ادامه نشان داده شده است.
x=2016−π2(cos(πt)−cos(4t))