24-08-2020, 12:00 AM
مثال
تقریب تفاضل محدودی برای محاسبه مشتق جزئی مرتبه اول با استفاده از چهار نقطه بنویسید.
در این قسمت برای محاسبه تقریب تفاضل محدود مشتق مرتبه اول از چهار نقطه Ui
، Ui−1 ، Ui+1 و Ui+2
استفاده می‌شود. بنابراین در ابتدا بسط تیلور برای این چهار نقطه را به صورت زیر می‌نویسیم.
![[تصویر: Finite-Difference41.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference41.png)
رابطه ۱۱ ![[تصویر: Finite-Difference42.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference42.png)
رابطه 12 ![[تصویر: Finite-Difference43.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference43.png)
رابطه 13 ![[تصویر: Finite-Difference44.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference44.png)
رابطه 14
در ادامه و با استفاده از رابطه‌ای که در ابتدای بخش «تقریب تفاضل محدود برای مشتق‌های مراتب بالاتر» بیان شد، تقریب تفاضل محدود را می‌نویسیم. بنابراین داریم:
![[تصویر: Finite-Difference14-1.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference14-1.png)
رابطه 15
بنابراین با توجه به روابطی که در بالا ارائه شد، 4 ضریب مجهول در تفاضل محدود این عبارت حضور دارند. این چهار ضریب مجهول به ترتیب αi−1
، αi، αi+1 و αi+2
هستند.
در ادامه، ضرایب را طوری انتخاب می‌کنیم که ضریب Uxi برابر با ۱ و ضرایب سایر موارد موجود یعنی Ui، Uxxi و Uxxxi برابر با صفر باشد. بنابراین چهار معادله و چهار مجهول موجود است که می‌توان این دستگاه معادلات را به فرم ماتریس زیر بیان کرد.
![[تصویر: Finite-Difference15.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference15.png)
رابطه 16
پاسخ این دستگاه معادلات با استفاده از روش‌های مختلف قابل محاسبه است و در نهایت مقدار هرکدام از ضرایب به صورت زیر در می‌آید.
![[تصویر: Finite-Difference16.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference16.png)
رابطه 17
بر این اساس با قرار دادن ضرایب بالا در معادله اولیه، تقریب تفاضل محدود با دقت مرتبه سه برای نقاط Ui
، Ui−1 ، Ui+1 و Ui+2
به شکل زیر در می‌آید.
![[تصویر: Finite-Difference17.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference17.png)
رابطه 18
روشی که در این قسمت با جزئیات مورد بررسی قرار گرفت را می‌توان برای محاسبه تمام مشتقات جزئی و با دقت‌های مختلف (خطای برشی) مورد استفاده قرار داد و مسائل گسسته‌سازی گوناگون موجود در مکانیک سیالات ودینامیک سیالات محاسباتی را با استفاده از آن محاسبه کرد. توجه کنید که این روابط در مکانیک سیالات اهمیت بسیار زیادی دارند. زیرا معادلات ناویر-استوکس شامل ترم‌های غیر خطی هستند و برای محاسبه آن‌ها حتما باید از روش‌های عددی مختلف مانند روش تفاضل محدود استفاده کرد.
پیشنهاد ما این است که یک دور مسئله بالا را خودتان حل کنید و نتیجه آن را با حل ارائه شده در این قسمت مقایسه کنید و بعد از آن و برای تمرین بیشتر، تقریب تفاضل محدود را برای مشتق سوم در نقطه i یعنی Uxxxi با استفاده از 5 نقطه Ui
، Ui−2، Ui−1 ، Ui+1 و Ui+2
بنویسید. در نهایت خطای برشی و دقت رابطه به دست آمده را محاسبه کنید.
توجه کنید که تا به اینجا، تقریب تفاضل محدود را برای مسائل یک بعدی مورد بررسی قرار دادیم. در بخش بعد این تقریب را برای حالت دو بعدی تکرار می‌کنیم و مفاهیم و روابط آن را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.
تقریب تفاضل محدود در حالت دو بعدی
مشابه روندی که در بالا طی شد، ما می‌توانیم مفهوم تقریب تفاضل محدود را به فضا و حالات دو بعدی و سه بعدی نیز تعمیم دهیم. بنابراین در حالت دو بعدی و تحت شرایط ذکر شده، ساختار و شبکه حل مورد نظر خود را به شکل زیر نمایش می‌دهیم.
![[تصویر: Finite-Difference18.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference18.jpg)
ساختار شبکه دو بعدی برای تقریب تفاضل محدود
پارامتری مانند U را در نظر بگیرید که مقدار آن در مختصات (i, j) با Ui,j نشان داده می‌شود. در این شرایط، تقریب تفاضل مرکزی برای مشتق مرتبه اول در راستای x و y را می‌توان با استفاده از رابطه زیر نمایش داد.
![[تصویر: Finite-Difference45.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference45.png)
رابطه ۱۹ ![[تصویر: Finite-Difference46.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/10/Finite-Difference46.png)
رابطه ۲۰
نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که مجموعه نقاطی که در تفاضل محدود دو بعدی و سه بعدی در نظر گرفته می‌شود شامل
تقریب تفاضل محدودی برای محاسبه مشتق جزئی مرتبه اول با استفاده از چهار نقطه بنویسید.
در این قسمت برای محاسبه تقریب تفاضل محدود مشتق مرتبه اول از چهار نقطه Ui
، Ui−1 ، Ui+1 و Ui+2
استفاده می‌شود. بنابراین در ابتدا بسط تیلور برای این چهار نقطه را به صورت زیر می‌نویسیم.
رابطه ۱۱ رابطه 12 رابطه 13 رابطه 14در ادامه و با استفاده از رابطه‌ای که در ابتدای بخش «تقریب تفاضل محدود برای مشتق‌های مراتب بالاتر» بیان شد، تقریب تفاضل محدود را می‌نویسیم. بنابراین داریم:
رابطه 15بنابراین با توجه به روابطی که در بالا ارائه شد، 4 ضریب مجهول در تفاضل محدود این عبارت حضور دارند. این چهار ضریب مجهول به ترتیب αi−1
، αi، αi+1 و αi+2
هستند.
در ادامه، ضرایب را طوری انتخاب می‌کنیم که ضریب Uxi برابر با ۱ و ضرایب سایر موارد موجود یعنی Ui، Uxxi و Uxxxi برابر با صفر باشد. بنابراین چهار معادله و چهار مجهول موجود است که می‌توان این دستگاه معادلات را به فرم ماتریس زیر بیان کرد.
رابطه 16پاسخ این دستگاه معادلات با استفاده از روش‌های مختلف قابل محاسبه است و در نهایت مقدار هرکدام از ضرایب به صورت زیر در می‌آید.
رابطه 17بر این اساس با قرار دادن ضرایب بالا در معادله اولیه، تقریب تفاضل محدود با دقت مرتبه سه برای نقاط Ui
، Ui−1 ، Ui+1 و Ui+2
به شکل زیر در می‌آید.
رابطه 18روشی که در این قسمت با جزئیات مورد بررسی قرار گرفت را می‌توان برای محاسبه تمام مشتقات جزئی و با دقت‌های مختلف (خطای برشی) مورد استفاده قرار داد و مسائل گسسته‌سازی گوناگون موجود در مکانیک سیالات ودینامیک سیالات محاسباتی را با استفاده از آن محاسبه کرد. توجه کنید که این روابط در مکانیک سیالات اهمیت بسیار زیادی دارند. زیرا معادلات ناویر-استوکس شامل ترم‌های غیر خطی هستند و برای محاسبه آن‌ها حتما باید از روش‌های عددی مختلف مانند روش تفاضل محدود استفاده کرد.
پیشنهاد ما این است که یک دور مسئله بالا را خودتان حل کنید و نتیجه آن را با حل ارائه شده در این قسمت مقایسه کنید و بعد از آن و برای تمرین بیشتر، تقریب تفاضل محدود را برای مشتق سوم در نقطه i یعنی Uxxxi با استفاده از 5 نقطه Ui
، Ui−2، Ui−1 ، Ui+1 و Ui+2
بنویسید. در نهایت خطای برشی و دقت رابطه به دست آمده را محاسبه کنید.
توجه کنید که تا به اینجا، تقریب تفاضل محدود را برای مسائل یک بعدی مورد بررسی قرار دادیم. در بخش بعد این تقریب را برای حالت دو بعدی تکرار می‌کنیم و مفاهیم و روابط آن را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.
تقریب تفاضل محدود در حالت دو بعدی
مشابه روندی که در بالا طی شد، ما می‌توانیم مفهوم تقریب تفاضل محدود را به فضا و حالات دو بعدی و سه بعدی نیز تعمیم دهیم. بنابراین در حالت دو بعدی و تحت شرایط ذکر شده، ساختار و شبکه حل مورد نظر خود را به شکل زیر نمایش می‌دهیم.
ساختار شبکه دو بعدی برای تقریب تفاضل محدودپارامتری مانند U را در نظر بگیرید که مقدار آن در مختصات (i, j) با Ui,j نشان داده می‌شود. در این شرایط، تقریب تفاضل مرکزی برای مشتق مرتبه اول در راستای x و y را می‌توان با استفاده از رابطه زیر نمایش داد.
رابطه ۱۹ رابطه ۲۰نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که مجموعه نقاطی که در تفاضل محدود دو بعدی و سه بعدی در نظر گرفته می‌شود شامل