روش المان محدود (Finite Element Method) 3

[amir315hossein]

انواع روش‌های المان محدود
در این بخش به معرفی انواع روش‌های المان محدود می‌پردازیم و برخی از آن‌ها را به طور مختصر توضیح می‌دهیم.
«روش المان کاربردی» (Applied Element Method) یا «AEM»
AEM، یک روش تحلیل عددی برای پیش‌بینی رفتار سازه‌های پیوسته و ناپیوسته است. این روش برای ارزیابی آسیب‌پذیری سازه‌ها (خرابی پیش‌رونده، تحلیل انفجار، تحلیل ضربه و تحلیل لرزه‌ای)، مهندسی قانونی، طراحی مبتنی بر عملکرد، تحلیل تخریب، تحلیل عملکرد شیشه و ایجاد جلوه‌های بصری به کار می‎رود.
«روش المان محدود تعمیم یافته» (Generalized Finite Element Method) یا «GFEM»
GFEM، به منظور بهبود تخمین‌های محلی در مدل‌های المان محدود توسعه یافته است. استفاده از این روش مسائلی با شرایط مرزی پیچیده، مقیاس میکرو و لایه‌های مرزی پیشنهاد می‌شود.
«روش المان محدود ترکیبی» (Mixed Finite Element Method)
این روش با عنوان «Hybrid Finite Element Method» نیز می‌گویند. در این روش، هنگام گسسته سازی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، چندین متغیر مستقل به عنوان متغیرهای گره‌ای به مسئله افزوده می‌شوند. این روش برای مسائلی مناسب است که از نظر عددی «بدطرح» (Ill-Posed) هستند. به عنوان مثال، تعیین میدان تنش و کرنش در یک جسم تقریباً تراکم ناپذیر، یک مسئله بدطرح به حساب می‌آید.
«نسخه hp روش المان محدود» (hp-version of Finite Element Method) یا «hp-FEM»
hp-FEM، فرم کلی روش المان محدود استاندارد است که برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از رویکرد تخمین چندجمله‌ای‌های تکه‌ای استفاده می‌کند. در سال 1992، «بابوسکا و همکاران» (.Babuska et al) دریافتند که در صورت تقسیم‌بندی المان‌ها به بخش‌های کوچک‌تر (نسخه h) و افزایش مرتبه چندجمله‌ای آن‌ها (نسخه p)، سرعت همگرایی روش المان محدود به صورت نمایی افزایش می‌یابد. این ویژگی باعث جذابیت بیشتر hp-FEM نسبت به دیگر روش‌های المان محدود می‌شود. با این وجود، با توجه به عواملی نظیر زمان مورد نیاز برای تحلیل، درک مبانی ریاضی، اجرای تحلیل و غیره، استفاده از این روش نسبت به روش استاندارد چالش‌برانگیزتر است.
«روش المان محدود توسعه یافته» (Extended Finite Element Method) یا «XFEM»
XFEM، یک روش عددی بر پایه GFEM و «روش تقسیم واحد» (Partition of Unity Method) یا اصطلاحاً «PUM» است. این روش به منظور حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، با افزودن توابع ناپیوسته به فضای حل مسئله روش المان محدود قدیمی را توسعه می‌دهد. به این ترتیب، امکان بهره‌گیری از ویژگی‌های مرتبط با ناپیوستگی‌ها، تکینگی‌های جبری، لایه‌های مرزی، مش‌بندی معمولی ریزساختارها و غیره فراهم می‌شود. نتایج به دست آمده از XFEM، بهبود دقت و نرخ همگرایی را نشان می‌دهند. به علاوه، به دلیل عدم نیاز به مش‌بندی مجدد سطوح ناپیوستگی‌ها در این روش، زمان محاسباتی و خطاهای رایج در روش‌های مرسوم المان محدود کاهش می‌یابد.
نرم‌افزارهایی نظیر «xfem++ 3» ،«» و «++openxfem»، از روش XFEM برای تحلیل مسائل مختلف استفاده می‌کنند. این روش در کدهایی نظیر «ASTER» ،«Morfeo» ،«Radioss» و نرم‌افزارهای معروف «» (Abaqus) و «انسیس» (ANSYS) نیز به کار گرفته می‌شود.
«روش المان محدود مرزی مقیاس شده» (Scaled Boundary Finite Element Method) یا «SBFEM»
SBFEM، در سال 1997 توسط «سانگ» (Song) و «وُلف» (Wolf) معرفی شد. این روش مفیدترین مشارکت صورت گرفته در حوزه تحلیل عددی مسائل مربوط به مکانیک شکستگی به حساب می‌آید. SBFEM از نقاط قوت فرآیندها و مبانی ریاضی روش المان محدود و همچنین فرآیند گسسته سازی روش المان مرزی بهره می‌برد.
«روش المان محدود هموار» (Smoothed Finite Element Method) یا «S-FEM»
روش‌های المان محدود هموار، دسته‌ای از الگوریتم‌های شبیه‌سازی عددی برای شبیه‌سازی پدیده‌های فیزیکی به شمار می‌روند. این روش‌ها از ترکیب روش‌های بدون مش با روش المان محدود توسعه یافته‌اند. S-FEM برای مسائلی مانند مکانیک سازه‌های جامد و پیزو الکتریک، مکانیک شکست و رشد ترک، مسائل غیرخطی، تحلیل‌های تصادفی، انتقال حرارت، آکوستیک سازه‌ها، مدل‌سازی پلاستیسیته بلورها و غیره کاربرد دارد.
«روش المان طیفی» (Spectral element method) یا «SEM»
روش‌های المان طیفی، پیچیدگی هندسی المان‌های محدود و دقت بالای روش‌های طیفی را با هم ترکیب می‌کنند. SEM برای تشخیص عیب و نقص‌های کوچک سازه کاربرد دارد. نحوه مدل‌سازی هندسه‌های پیچیده در این روش نسبت به روش المان محدود دشوارتر است.
«روش‌های بدون مش» (Meshfree Methods)
در حوزه تحلیل عددی، روش‌های بدون مش به روش‌هایی اطلاق می‌شود که در آن‌ها نیازی به ایجاد ارتباط بین تمام گره‌های مدل وجود ندارد. با این وجود، فعل و انفعالات بین هر گره با گره‌های اطراف آن در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، به جای اختصاص خواصی نظیر جرم یا انرژی جنبشی به المان‌های مش، هر یک از این خواص برای گره‌های منفرد تخصیص می‌یابند. روش‌های بدون مش می‌توانند برخی مسائل دشوار را با صرف زمان محاسباتی و برنامه‌نویسی بیشتر شبیه‌سازی کنند. این روش‌ها برای شبیه‌سازی هندسه‌های پیچیده، ایجاد ترک، خمش، رفتار غیرخطی، ناپیوستگی‌ها و تکینگی مفید هستند.
«روش‌های گالرکین ناپیوسته» (Discontinuous Galerkin Methods)
در ریاضیات کاربردی، روش‌های گالرکین ناپیوسته گروهی از روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل به حساب می‌آیند. این روش‌ها، ویژگی‌های رویکرد المان محدودو حجم محدود[/url] را با هم ترکیب می‌کنند. در مسائل حوزه‌های الکترودینامیک، مکانیک سیالات و فیزیک پلاسما، تمایل زیادی به استفاده از روش‌های گالرکین ناپیوسته وجود دارد.
«تحلیل حدی المان محدود» (Finite Element Limit Analysis) یا «FELA»
در FELA، از روش‌های بهینه‌سازی برای محاسبه مستقیم کران‌های بالا و پایین بار شکست پلاستیک برای یک سیستم مکانیکی استفاده می‌شود. کاربرد اصلی این روش در حوزه مکانیک خاک و به منظور تعیین بارهای مورد نیاز برای ایجاد شکست در مسائل ژئوتکنیکی () است. نرم‌افزارهای «» و « از مبانی FELA برای تحلیل مسائل ژئوتکنیکی بهره می‌برند.
«روش شبکه کشیده» (Stretched Grid Method) یا (SGM)
روش شبکه کشیده، یک روش عددی برای یافتن راه حل‌های تقریبی در مسائل مهندسی و ریاضی است. هواشناسان از این روش برای پیش‌بینی آب و هوا استفاده می‌کنند. در علوم مهندسی نیز از SGM برای طراحی سقف‌ها و دیگر سازه‌های کششی استفاده می‌شود.
«تکرار لوبیگناک» (Loubignac iteration)
در ریاضیات کاربردی، تکرار لوبیگناک یک روش تکراری در روش‌های المان حدی است. این روش که در سال 1977 توسط «ژیل لوبیگناک» (Gilles Loubignac) معرفی شد، میدان تنش پیوسته را به دست می‌آورد. تکرار لوبیگناک برای تحلیل استاتیک المان حدی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مقایسه روش المان محدود با روش تفاضل محدود
تصویر مش‌بندی دهانه تونل در یک نرم‌افزار مبتنی بر روش تفاضل محدود (المان‌های چهارضلعی).
«روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) یا اصطلاحاً «FDM»، یکی از روش‌های جایگزین FEM برای تخمین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. موارد زیر، تفاوت‌ها و شباهت‌های بین FEM و FDM را بیان می‌کنند:
[list]
[*]جذاب‌ترین ویژگی FEM، مدل‌سازی نسبتاً راحت هندسه و شرایط مرزی پیچیده است. المان‌های FDM باید به صورت مستطیلی شکل باشند در صورتی که تغییرات هندسه مدل در FEM از نظر تئوری نیز ساده است.
[*]معمولاً از FDM برای هندسه‌های نامنظم استفاده نمی‌شود. در اغلب موارد، مدل‌های بلوکی یا مستطیلی با استفاده از این روش مورد تحلیل قرار می‌گیرند.
[*]جذاب‌ترین ویژگی FDM، اجرای آسان تحلیل است.
[*]در برخی از موارد می‌توان FDM را یک حالت خاص از FEM در نظر گرفت. در معادله پوآسن، اگر مسئله با استفاده از مش‌های مستطیلی مدل‌سازی و هر مستطیل به دو مثلث تقسیم شود، FEM مرتبه اول با FDM یکسان خواهد بود.
[*]دلایل زیادی برای منطقی‌تر بودن مبانی ریاضی FEM وجود دارد. به عنوان مثال، کیفیت تخمین مقادیر بین نقاط گره‌ای در FDM پایین‌تر از FEM است.
[*]مقدار تخمین‌هایی که با استفاده FEM به دست می‌آیند، در اغلب موارد بیشتر از مقدار به دست آمده از FDM هستند. البته این موضوع وابستگی زیادی به نوع مسئله دارد و در برخی از موارد نتایج عکس نیز مشاهده شده است.
[/list]در مکانیک سازه‌ها، به منظور اجرای انواع مختلف تحلیل‌ها (مانند تحلیل تغییر شکل و تنش‌های موجود در اجسام صلب یا رفتار دینامیکی سازه)، معمولاً FEM به عنوان انتخاب اصلی در نظر گرفته می‌شود. در حالی که برای مسائل مربوط به «دینامیک سیالات محاسباتی» (Computational Fluid Dynamics) یا اصطلاحاً «CFD»، روش‌هایی نظیر FDM یا روش حجم محدود» (Finite Volume Method) یا به اختصار «FVM» مورد استفاده قرار می‌گیرد. معمولاً در مسائل حوزه CFD، یک مسئله به تعداد بسیار زیادی سلول یا نقطه گره‌ای (Gridpoint) تقسیم می‌شود. از این‌رو، با توجه به زمان و تجهیزات احتمالی مورد نیاز، برای تخمین ویژگی‌های درون هر سلول، استفاده از روش‌های ساده‌تر به همراه الگوریتم‌هایی با مرتبه پایین‌تر در اولویت قرار می‌گیرد. این موضوع، برای مسائلی با «جریان خارجی» (External Flow) مانند جریان هوا در اطراف یک خودرو یا هواپیما و شبیه‌سازی وضعیت آب و هوا نیز صادق است.
کاربرد روش المان محدود
بسیاری از شاخه‌های مهندسی مکانیک نظیر علوم وابسته به هوانوردی، بیومکانیک و صنایع خودروسازی برای طراحی و توسعه محصولات خود از روش المان محدود کمک می‌گیرند. امروزه، مجموعه‌های نرم‌افزاری FEM، توانایی در نظر گرفتن شرایط ویژه دمایی، الکترومغناطیسی، مواد سیال و سازه‌ها را دارند. در شبیه‌سازی سازه‌ها، FEM در به تصویر کشیدن سختی و مقاومت مواد و همچنین به حداقل رساند وزنِ مواد به کار گرفته شده و در نتیجه کاهش هزینه ساخت سازه کمک فوق‌العاده‌ای می‌کند.
نمایش نحوه تغییر شکل یک ماشین در حین تصادف با استفاده از تحلیل المان حدی
در FEM، امکان نمایش دقیق محل خمش یا پیچش سازه و تشخیص نحوه توزیع تنش‌ها و جابجایی‌ها فراهم می‌شود. نرم‌افزارهای FEM گزینه‌های زیادی را برای کنترل پیچیدگی مدل‌سازی و تحلیل یک سیستم در اختیار طراحان قرار می‌دهند. به این ترتیب می‌توان سطح دقت مورد نیاز و زمان انجام محاسبات برای اکثر مسائل مهندسی را مدیریت کرد. روش المان محدود، ساخت، اصلاح و بهینه‌سازی طراحی‌ها را پیش از شروع تولید امکان‌پذیر می‌کند.
نمونه ای از یک مدل المان محدود که یک مفصل زانوی انسان را مورد تحلیل قرار می‌دهد.
استفاده از ابزارهای قدرتمند FEM، استانداردهای طراحی‌های مهندسی و روش‌های به کار گرفته شده در فرآیند این طراحی‌ها را به طور قابل توجهی بهبود بخشید. با معرفی این روش، زمان بین ایجاد یک طراحی مفهومی از محصول و شروع به کار خط تولید آن به طور چشمگیری کاهش یافت. دلیل اصلی این موضوع در وهله اول، بهبود طراحی نمونه‌های اولیه با استفاده از FEM بود. این روش سرعت آزمایش و توسعه محصول را افزایش داد. در مجموع، دقت بالا، طراحی پیشرفته، درک بهتر پارامترهای بحرانی طراحی، نمونه‌سازی مجازی، کاهش نیاز به ساخت نمونه‌های فیزیکی، چرخه‌های طراحی سریع‌تر و ارزان‌تر، بهبود بهره‌وری و بهبود درآمد را می‌توان به عنوان مزایای FEM برشمرد. علاوه بر این موارد، مزایای این روش باعث شده است تا FEA برای به کارگیری در مدل‌سازی‌های تصادفی به منظور حل عددی مدل‌های احتمالاتی نیز پیشنهاد شود.
در مطالب بعدی وبلاگ فرادرس «روش تفاضل محدود» و «روش حجم محدود» به صورت دقیق مطالعه شده‌اند که این روش‌ها کاربرد زیادی در علم « دینامیک سیالات محاسباتی» دارند.

---

همانطور که بیان شد این روابط و قوانین بقا، کاربرد بسیار زیادی در مسائل مختلف مکانیک سیالات مانند دینامیک سیالات محاسباتی دارند. در این مطالب به خوبی نشان داده شد که بعد از نوشتن این روابط و قوانین بقا، در نهایت ما به مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می‌رسیم و این معادلات با استفاده از روش‌های عدد مختلفی مانند روش تفاضل محدود و روش حجم محدود قابل حل هستند.

در واقع روش تفاضل محدود، به منظور محاسبه مشتق جزئی، محیط و دنیای پیوسته پیرامون ما را به محیط گسسته تبدیل می‌کند. این مطلب به صورت دقیق به بررسی حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با استفاده از روش تفاضل محدود می‌پردازد. بنابراین در ابتدا مفهوم تقریب تفاضل محدود و شیوه محاسبه آن مورد بررسی قرار می‌گیرد. سپس پارامتر مهم خطای برشی معرفی می‌شود و همچنین روابط حاکم بر تقریب تفاضل محدود در مراتب بالاتر و حالت چند بعدی نیز مورد مطالعه قرار می‌گیرند. در ادامه مفهوم روش تفاضل محدود و شیوه استفاده از آن به کمک یک مثال و به صورت دقیق بیان می‌شود و در انتهای مطلب نیز شرایط مرزی در مسائل دینامیک سیالات محاسباتی بررسی می‌شوند. توجه کنید که مطالعه پایداری روش تفاضل محدود نیز اهمیت بسیار زیادی در استفاده از این روش عددی دارد که در مطلب «پایداری روش تفاضل محدود» مورد مطالعه قرار گرفته است.

تقریب‌ تفاضل محدود
در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، معادلات دیفرانسیل معمولی (Ordinary Differential Equation) به صورت دقیق و با استفاده از تقریب سری تیلور مورد بررسی قرار گرفتند. این تقریب برای مشتق در زمان ∂U∂t
نوشته شد. با استفاده از این روش، تقریبی برای مشتق U بر حسب زمان و در زمان n به دست آمد که این تقریب با نماد زیر نشان داده می‌شود.
رابطه ۱
این تقریب با استفاده از مقادیر در زمان‌های قبل و بعد یعنی Un+1,Un,Un−1,…
به دست آمد. ایده اصلی موجود در روش تفاضل محدود برای معادلات دیفرانسیل بامشتقات جزئی[url=https://blog.faradars.org/partial-derivative/] نیز بسیار مشابه با روش بالا است با این تفاوت که در روش تفاضل محدود به جای زمان با مکان سر و کار داریم و معادلات را در مکان‌های گسسته بازنویسی می‌کنیم. مکان‌های گسسته و مشتقات جزئی در دو رابطه زیر به صورت خلاصه بیان شده‌اند.
رابطه 2


بنابراین همانطور که در ابتدای مطلب اشاره شد، با استفاده از روش تفاضل محدود می‌توان یک محیط پیوسته را به محیط گسسته تبدیل کرد و بازنویسی معادلات و محاسبه مشتق‌های جزئی را در آن انجام داد. فواصل نقاط مختلف گسسته شده در روش تفاضل محدود برابر با △x
در نظر گرفته می‌شود (این فواصل می‌توانند با یکدیگر برابر یا متفاوت باشند) و شکل زیر به خوبی یک «شبکه» (Mesh) و ساختار یک بعدی برای تقریب تفاضل محدود را به تصویر کشیده است.
شبکه یک بعدی برای تقریب تفاضل محدود
در ادامه هدف ما محاسبه یک تقریب تفاضل محدود برای ∂U∂x
در نقطه xi است. برای یک تابع مشتق‌پذیر U، مشتق جزئی در نقطه xi
را می‌توان با استفاده از رابطه زیر مورد محاسبه قرار داد.
رابطه 3
توجه کنید که تقریب تفضل محدود، زمانی حاصل می‌شود که عبارت حد در رابطه بالا حذف شود. در این حالت، مشتق جزئی U در راستای x و در نقطه i برابر با عبارت سمت راست معادله در نظر گرفته می‌شود. این موضوع در رابطه زیر به خوبی نشان داده شده است.
رابطه 4
این روش به نام روش «تفاضل مرکزی» (Central Difference) معروف است و به عملگر δ2x، «عملگر تفاضل مرکزی» (Central Difference Operator) گفته می‌شود.
مشکل اصلی روش تفاضل محدود مرکزی این است که وقتی مقدار U در xi+Δx
و xi–Δx با یکدیگر برابر باشند، مشتق در نقطه xi
را برابر با صفر محاسبه می‌کند. این در حالی است که در بسیاری از توابع نوسانی این گونه نیست و مشتق مقداری مثبت یا منفی دارد. بنابراین از روش‌هایی با مراتب بالاتر و یا روش‌های «یک طرفه» (One-Side) نیز برای محاسبه مشتق جزئی استفاده می‌شود. برای مثال یک «تقریب تفاضل پس‌رو» (Backward Difference Approximation) به صورت زیر قابل بیان است.
رابطه 5
مشابه روابط بالا، می‌توان تفاضل پیش‌رو را نیز برای محاسبه مشتق بیان کرد. بنابراین تقریب تفاضل پیش‌رو برای مشتق جزئی تابع U در راستای x و در نقطه i به شکل زیر محاسبه می‌شود.
رابطه 6
خطای برشی تقریب تفاضل محدود