روش تفاضل محدود 2

[amir315hossein]

خطای برشی تقریب تفاضل محدود
در این بخش مفهوم «خطای برشی» (Truncation Error) در روش تفاضل محدود مورد بررسی قرار می‌گیرد. این خطای برشی، مرتبه دقت روش مورد استفاده را نشان می‌دهد و به عنوان یک معیار برای انتخاب روش عددی مناسب بر اساس سرعت حل در دینامیک سیالات محاسباتی[/url] شناخته می‌شود. بنابراین در ادامه نمونه‌ای از شیوه محاسبه خطای برشی برای روش‌های مختلف تفاضل محدود با جزئیات مورد مطالعه قرار می‌گیرد.
فرض کنید که برای محاسبه مشتق اول در نقطه i، از تفاضل پس‌رو استفاده می‌شود. خطای برشی این روش را می‌توان با استفاده از سری تیلور محاسبه کرد. در واقع ابتدا رابطه تفاضل پس‌رو را می‌نویسیم. در ادامه با استفاده از سری تیلور یکی از عبارت‌ها را بازنویسی می‌کنیم. بدین ترتیب خطای برشی موجود در روش مورد استفاده محاسبه می‌شود. این روند در روابط زیر به خوبی بیان شده است.
رابطه 7
روند مشابه روابط بالا را می‌توان برای سایر روش‌ها یعنی روش تفاضل پیش‌رو و مرکزی و همچنین تفاضل محدود مراتب بالاتر نیز اجرا کرد.

تقریب تفاضل محدود برای مشتق‌های مراتب بالاتر
تا به اینجا، روش‌های مختلفی برای محاسبه تقریب تفاضل محدود و برای محاسبه مشتق اول نوشته شد. توجه شود که یکی از اهداف بسیار مهم ما در این قسمت، حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است و در این معادلات، معمولا مشتقات مراتب بالاتر مانند Uxxx ،Uxx حضور دارند.
در قسمت‌های قبل نشان داده شد که محاسبه تقریب تفاضل محدود برای مشتق اول، با استفاده از تعریف مشتق قابل بیان است. در این قسمت نیز برای محاسبه تقریب تفاضل محدود مشتق‌های مراتب بالاتر ابتدا تعریف مشتق را برای آن‌ها می‌نویسیم و در ادامه رابطه نهایی آن را محاسبه می‌کنیم. این موضوع در روابط زیر و برای محاسبه تقریب تفاضل محدود مشتق دوم به خوبی مورد بررسی قرار گرفته است.
رابطه 8
در ادامه برای محاسبه تقریب تفاضل محدود مشتق دوم، علامت حد را حذف می‌کنیم. بنابراین داریم:
رابطه 9
به صورت کلی می‌توان بیان کرد که محاسبه تقریب تفاضل محدودمشتقات جزئی با استفاده از روندی که در بالا توضیح داده شد، یعنی استفاده از تعریف مشتق برای محاسبه تقریب تفاضل محدود، کاری بسیار خسته کننده است. در واقع در تمامی مسائل ما به دنبال تعریف یک تقریب تفاضل محدود با استفاده از تعدادی نقاط هستیم که خطای برشی آن کمترین مقدار ممکن باشد. بنابراین برای سادگی محاسبه این تقریب تفاضل محدود، یک حالت کلی برای تقریب تفاضل محدود به شکل زیر در نظر بگیرید.
رابطه 10
در این رابطه αj ضرایب موجود در تقریب تفاضل محدود را نشان می‌دهند. علامت موجود در زیر سیگما ( Σ
) نیز مجموعه نقاطی را نشان می‌دهد که قرار است با استفاده از آن‌ها تقریب تفاضل محدود را بنویسیم. برای مثال، تقریب تفاضل مرکزی یعنی δ2x شامل سه نقطه است که مقدار متغیر U در این سه نقاط به ترتیب برابر با Ui ، Ui−1 و Ui+1 هستند.
بنابراین همانطور که در بالا توضیح داده شد، معادلات و تقریب‌های مختلف تفاضل محدود با در نظر گرفتن مجموعه نقاط مختلف محاسبه می‌شود. شیوه استفاده از نقاط مختلف برای نوشتن تقریب تفاضل محدود در مثال زیر به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفته است. با استفاده از روشی که در این مثال بیان شده، سایر تقریب‌های تفاضل محدود برای مشتق‌‌های جزئی در ریاضیات ودینامیک سیالات محاسباتی[url=https://blog.faradars.org/computational-fluid-dynamics/] قابل محاسبه است.