معادله اویلر-لاگرانژ

[فاطمه رمضانی]

معادله اویلر-لاگرانژ

[list]
[*]زبان
[*]پی‌گیری
[*]ویرایش
[/list]
بیشتر بدانید

پیشنهاد شده است که این مقاله با معادله حرکت اویلر لاگرانژ ادغام شود. (بحث)
در حساب وردشی، معادلهٔ اویلر-لاگرانژ (به انگلیسی: Euler–Lagrange equation) (که با نام‌هایِ معادلهٔ اویلر یا معادلهٔ لاگرانژ هم شناخته می‌شود.) نام یک معادلهٔ دیفرانسیل شناخته شده‌است. جواب‌هایِ این معادلهٔ دیفرانسیل، تابع‌هایی هستند که یک تابعی معین را تعادلی می‌کنند. این معادلهٔ دیفرانسیل را لئونارد اویلر، ریاضیدانِ سوئیسی و ژوزف لویی لاگرانژ، ریاضیدانِ ایتالیایی در دههٔ ۱۷۵۰ میلادی به دست آوردند.
از آن‌جایی که یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطهٔ بیشینه یا کمینه‌ی موضعیِ خود تعادلی می‌شود، معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، زمانی کاربردی است که بخواهیم مسئله‌ای مربوط به بهینه‌سازی را حل کنیم و در آن یک تابعیِ معین داده شده و می‌خواهیم این تابعی را کمینه یا بیشینه کنیم. این قضیه قابلِ مقایسه با قضیه فرما در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که می‌گوید یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطه‌ای اکسترممِ موضعیِ دارد که مشتق آن صفر شود.
در مکانیک لاگرانژی، به خاطرِ اصلِ همیلتونیِ کمترین کنش، تغییرهایِ یک سیستمِ فیزیکی با جوابِ معادلهٔ اویلر-لاگرانژ برایِ آن رفتارِ آن سیستم توصیف می‌شود. در مکانیک کلاسیک، این اصل معادل با قانون‌هایِ حرکتِ نیوتون است، هر چند که این مزیت را دارد که در هر سیستمی با مختصات تعمیم‌یافته، فرمِ آن تغییر نمی‌کند و در نتیجه برایِ تعمیم دادن بسیار مناسب‌تر است.

تاریخچهویرایش

چهار نقطه از چهار موقعیتِ مختلف بر رویِ سیکلوئید رها می‌شوند، اما همگی در زمانِ یکسانی به پایینِ آن می‌رسند. پیکان‌هایِ آبی، شتابِ نقطه‌ها را در طولِ منحنی نشان می‌دهد. در بالا، نمودارِ زمان-مکان نمایش داده شده است.
معادلهٔ اویلر-لاگرانژ در دههٔ ۱۷۵۰ میلادی، به وسیلهٔ اویلر و لاگرانژ به دست آمد، زمانی که آن‌ها مشغولِ حلِ مسئلهٔ خم هم‌زمانی بودند. مسئلهٔ منحنی هم‌زمانی دربارهٔ این است که چه‌طور می‌توان منحنی‌ای پیدا کرد که اگر از رویِ آن منحنی توپی را رها کنیم، زمانِ رسیدنِ توپ به پایینِ منحنی مقدارِ ثابتی باشد و فرقی نکند که توپ را از چه ارتفاعی از منحنی به پایین رها کرده‌ایم.
لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و جواب را برایِ اویلر فرستاد. این دو به کمکِ هم، متدِ لاگرانژ را گسترش دادند و در حلِ مسئله‌هایِ مکانیک به کار گرفتند، تلاشی که در نهایت به خلقِ مکانیک لاگرانژی ختم شد. به علاوه مکاتبه‌هایِ آن‌ها، به خلقِ کاملِ حسابِ وردشی منجر شد. نخستین بار در سالِ ۱۷۶۶، اویلر بود که این نام را برایِ تکنیک‌های‌شان به کار برد.

صورت معادله[/url]

مثال[url=https://fa.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87_%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%84%D8%B1-%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%DA%98&action=edit&section=3]

کاربرد در مکانیک کلاسیکویرایش
روش پایهویرایش
برای اینکه معادلهٔ حرکت را برای یک سیستم معین (شرط آن است که سیستم پایستار باشد) به دست آوریم، به کمک این معادله می‌توانیم از این روش بهره ببریم:
[list]
[*]ابتدا به کمک انرژی جنبشی T {\displaystyle T} و انرژی پتانسیل V {\displaystyle V} لاگرانژین را حساب کنیم L = T − V {\displaystyle L=T-V} .
[*]طبق اصل همیلتون، انتگرال زیر که انتگرال لاگرانژی است باید مینیمم باشد:
[/list]S ( q ) = ∫ a b L ( t , q ( t ) , q ′ ( t ) )  d t {\displaystyle \displaystyle S(q)=\int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))\,\mathrm {d} t}
می‌دانیم که این انتگرال زمانی مینیمم می‌شود که معادلهٔ اویلر–لاگرانژ برقرار باشد.
[list]
[*]∂ L ∂ q {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}} را محاسبه نماییم.
[*]∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}} را محاسبه کنیم و به کمک آن d d t ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}} را بیابیم. مهم است که با q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} همچون یک تابع مستقل برخورد کنیم نه همچون مشتق یک تابع دیگر.
[*]∂ L ∂ q = d d t ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}} را به دست می‌آوریم که همان معادلهٔ اویلر–لاگرانژ است.
[/list]ذره در میدان نیروی پاستارویرایش
حرکت یک ذرهٔ منفرد تحت میدانِ یک نیروی پایستار (مثلاً تحتِ نیروی گرانش) به کمک اصل همیلتون معین می‌شود که می‌گوید در هر حرکت فیزیکی، کنش همواره کمینه خواهد بود. رابطهٔ کنش برای سیستم تک‌ذره‌ای فعلی عبارت است از:
S = ∫ t 0 t 1 L ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) )  d t {\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\mathbf {x} (t),\mathbf {\dot {x}} (t))\,\mathrm {d} t}
که (x(t مکان ذره در زمان t است و نقطهٔ بالای یک متغیر از نمادگذاری نیوتون به دست آمده و منظور از آن مشتق زمانی یک متغیر است. به عبارت دیگر (ẋ(t نشان‌دهندهٔ همان سرعت (v(t است. در معادلهٔ بالا L نشان‌دهندهٔ لاگرانژین است (تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل) که از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
L ( t , x , v ) = 1 2 m ∑ i = 1 3 v i 2 − U ( x ) , {\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}m\sum _{i=1}^{3}v_{i}^{2}-U(\mathbf {x} ),}
که در آن:
[list]
[*]m جرم ماده است که در مکانیک کلاسیک ثابت فرض می‌شود.
[*]vi مؤلفهٔ i-اُم بردار سرعت v در دستگاه مختصات دکارتی است. (از همین نمادگذاری برای مؤلفه‌های بردارهای دیگر هم استفاده می‌شود.)
[*]U پتانسیل نیروهای پایستار است.
[/list]در این حالت، لاگرانژین تابع صریح آرگومان اول خود (t) محسوب نمی‌شود. بنا به قضیهٔ نودر، چنین تقارنی در سیستم از قانون‌های پایستگی ناشی می‌شود. به شکلِ خاص، عدم وابستگی لاگرانژین به زمان، پایستگی انرژی را نتیجه می‌دهد.
اگر از لاگرانژین بالا، مشتق پاره‌ای بگیریم خواهیم داشت.
که نیرو برابر است با F = −∇U (منفی گرادیان انرژی پتانسیل) که از تعریف انرژی پایستار نتیجه می‌شود و p تکانه می‌باشد. با این جایگذاری‌ها در معادلهٔ اویلر لاگرانژ، در نهایت به یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم برای مسیر حرکت ذره می‌رسیم
که صورت‌بندی قانون دوم نیوتون است. به عبارت دیگر معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، صورت‌بندی دیگری برای معادلهٔ دوم حرکت نیوتون است.