23-08-2020, 11:51 PM
«روش المان محدود» (Finite Element Method) یا اصطلاحاً «FEM»، یک روش عددی برای حل مسائل موجود در حوزه‌های مهندسی و ریاضی فیزیک است. این روش در مسائلی نظیر تحلیل سازه‌ها، انتقال حرارت دینامیک سیالات، انتقال جرم و پتانسیل الکترومغناطیسی کاربرد دارد. برای حل این گونه مسائل از طریق روش‌های تحلیلی (فرم بسته)، باید جواب چندین مسئله مقدار مرزی را برای معادلات دیفرانسیل بامشتقات جزئی به دست آورد.
روش المان حدی مسئله مورد نظر را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می‌کند. این روش، مقادیر تخمینی پارامترهای مجهول را برای تعدادی از نقاط مجزا در محدوده تعریف مسئله به دست می‌آورد. راه حل روش المان محدود، تقسیم مسائل بزرگ به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تری به نام «المان‌های محدود» (Finite Elements) است. در مرحله بعد، معادلات ساده‌ای که معرف این المان‌های محدود هستند، در یک دستگاه معادلات بزرگ‌تر در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و فرم کلی مسئله اصلی را تشکیل می‌دهند. انجام مطالعه یا تحلیل بر روی یک پدیده با استفاده از FEM، با عنوان «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) شناخته می‌شود.
تاریخچه روش المان حدی
![[تصویر: GEO_5_FEM_Consolidation_Generated_mesh_o...ements.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/GEO_5_FEM_Consolidation_Generated_mesh_of_finite_elements.jpg)
نمونه‌ای از تقسیم‌بندی محدوده یک مسئله مرتبط با سد در یک نرم‌افزار مبتنی بر روش المان محدود
معرفی زمان دقیق پیدایش روش المان حدی کار ساده‌ای نیست. با این حال می‌توان عنوان کرد که شروع این روش به یافتن راه حل برای مسائل مربوط به تحلیل‌های پیچیده سازه والاستیسیته در مهندسی عمران و هوافضا بازمی‌گردد. تحقیقات «الکساندر هرنیکوف» (Alexander Hrennikoff) و «ریچارد کورانت» (Richard Courant) در اوایل دهه 1940 میلادی، جز اولین تلاش‌های صورت گرفته برای توسعه روش المان حدی به حساب می‌آیند. در اتحاد جماهیر شوروی، شروع به کارگیری روش المان حدی در مسائل عملی در اغلب منابع به «لئونارد هوهانسیان» (Leonard Oganesyan) نسبت داده می‌شود. در اواخر دهه 1950 تا اوایل دهه 1960، «کانگ فنگ» (Kang Feng)، ریاضیدان و دانشمند چینی، یک روش عددی سیستماتیک را برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پیشنهاد کرد. این روش که با عنوان روش تفاضل محدود بر اساس اصل واریانس شناخته می‌شود، در آن زمان یک نوآوری جدید به حساب می‌آمد. رویکردهای مورد استفاده توسط این محققین با هم متفاوت بود اما یک ویژگی مشترک در تمام آن‌ها وجود داشت. تمام این روش‌ها برای حل مسئله، یک محدوده پیوسته را به مجموعه‌ای از محدوده‌های کوچک‌تر تقسیم می‌کردند که به آن‌ها «المان» (Element) گفته می‌شد.
روش ارائه شده توسط هرنیکوف، محدوده مسئله را با استفاده از مفهوم شبکه تقسیم‌بندی می‌کند؛ در حالی که تقسیم‌بندی محدوده در رویکرد کورانت توسط زیرمجموعه‌های مثلثی محدود صورت می‌گیرد و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست آمده از مسئله پیچش یک سیلندر حل می‌شوند. مشارکت کورانت در این زمینه باعث بهبود نتایج مطالعات پیشین شد.
تمایل به استفاده از روش المان محدود در دهه 1960 و 1970 اوج گرفت. در سال 1973، «گیلبرت استرنگ» (Gilbert Strang) و «جورج فیکس» (George Fix)، یک مبنای ریاضی دقیق برای این روش ارائه دادند. پس از این مطالعه، روش المان محدود برای مدل‌سازی عددی سیستم‌های فیزیکی تعمیم داده شد و در محدوده گسترده‌ای از مسائل مهندسی نظیر الکترومغناطیس، انتقال حرارت، دینامیک سیالات و بسیاری از مسائل دیگر مورد استفاده قرار گرفت.
مفاهیم اساسی روش المان محدود
همان‌گونه که اشاره شد، محدوده مسئله مورد تحلیل با روش المان محدود، به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تر تقسیم می‌شود. این تقسیم‌بندی دارای چندین مزیت است:
[list]
[*]نمایش دقیق هندسه‌های پیچیده
[*]در نظر گرفتن خصوصیات متفاوت ماده
[*]نمایش ساده راه حل کلی
[*]تشخیص تغییرات محلی
[/list]فرآیند کلی حل مسئله در روش المان محدود دارای دو مرحله است. در ابتدا، محدوده مسئله به مجموعه‌ای از محدوده‌های کوچک‌تر تقسیم می‌شود. هر یک از این محدوده‌های کوچک بیانگر یک دستگاه معادلات مختص به هر یک از المان‌ها هستند. در ادامه، تمام این دستگاه‌ها به منظور انجام محاسبات نهایی در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. این دستگاه معادلات کلی را می‌توان با استفاده از مقادیر اولیه مسئله اصلی حل کرد و نتایج عددی مربوط به آن را به دست آورد. در ادامه، هر یک از مراحل حل مسئله با استفاده از FEM را به طور تخصصی توضیح می‌دهیم.
در مرحله اول، معادله مرتبط با هر یک از المان‌ها به صورت مجموعه معادلات ساده‌ای است که معادلات پیچیده اصلی (اغلب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی) را در نواحی مختلف تخمین می‌زند. برای انجام این تخمین، معمولاً FEM به عنوان حالت خاص «روش گالرکین» (Galerkin Method) در نظر گرفته می‌شود. این فرآیند در ریاضیات، با انتگرال‌گیری از ضرب داخلی توابع وزنی و باقیمانده و همچنین برابر با صفر قرار دادن حاصل انتگرال صورت می‌گیرد. به عبارت ساده‌تر، این فرآیند با برازش توابع آزمایشی به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، میزان خطای تخمین را به حداقل می‌رساند. مقدار باقیمانده، خطای به دست آمده از توابع آزمایشی است. توابع وزنی نیز توابع تقریب چندجمله‌ای هستند که میزان باقیمانده را نشان می‌دهند. فرآیند مذکور، تمام مشتقات فضایی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حذف می‌کند و آن‌ها را از طریق دو دستگاه زیر به صورت ناحیه‌ای تخمین می‌زند:
[list]
[*]دستگاه معادلات جبری برای مسائل حالت پایدار
[*]دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی برای مسائل گذرا
[/list]این دو دستگاه معادلات مختص به المان‌های مسئله هستند. اگر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به صورت خطی باشند، معادلات المان‌ها نیز خطی خواهند بود و بالعکس. معادلات جبری به دست آمده از مسائل حالت پایدار با استفاده از روش‌های جبر خطی عددی حل می‌شوند؛ در حالی که حل معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده از مسائل گذرا توسط روش‌های استاندارد انتگرال‌گیری عددی نظیر روش اویلر یا «رونگه‐کوتا» (Runge-Kutta) صورت می‌گیرد.
در مرحله دوم، یک دستگاه معادلات کلی با استفاده از معادلات مربوط به المان‌ها تشکیل می‌شود. این فرآیند از طریق تبدیل مختصات گره‌های محلی محدودهای کوچک به گره‌های کلی محدوده اصلی صورت می‌گیرد. برای انجام این تبدیلات فضایی به تنظیم جهت‌گیری مناسب نسبت به دستگاه مختصات مرجع نیاز است. در اغلب موارد، این عملیات توسط نرم‌افزاری مبتنی بر FEM و با استفاده از داده‌های مختصاتی به دست آمده از محدوده‌های کوچک اجرا می‌شود.
روش المان حدی مسئله مورد نظر را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می‌کند. این روش، مقادیر تخمینی پارامترهای مجهول را برای تعدادی از نقاط مجزا در محدوده تعریف مسئله به دست می‌آورد. راه حل روش المان محدود، تقسیم مسائل بزرگ به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تری به نام «المان‌های محدود» (Finite Elements) است. در مرحله بعد، معادلات ساده‌ای که معرف این المان‌های محدود هستند، در یک دستگاه معادلات بزرگ‌تر در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و فرم کلی مسئله اصلی را تشکیل می‌دهند. انجام مطالعه یا تحلیل بر روی یک پدیده با استفاده از FEM، با عنوان «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) شناخته می‌شود.
تاریخچه روش المان حدی
نمونه‌ای از تقسیم‌بندی محدوده یک مسئله مرتبط با سد در یک نرم‌افزار مبتنی بر روش المان محدودمعرفی زمان دقیق پیدایش روش المان حدی کار ساده‌ای نیست. با این حال می‌توان عنوان کرد که شروع این روش به یافتن راه حل برای مسائل مربوط به تحلیل‌های پیچیده سازه والاستیسیته در مهندسی عمران و هوافضا بازمی‌گردد. تحقیقات «الکساندر هرنیکوف» (Alexander Hrennikoff) و «ریچارد کورانت» (Richard Courant) در اوایل دهه 1940 میلادی، جز اولین تلاش‌های صورت گرفته برای توسعه روش المان حدی به حساب می‌آیند. در اتحاد جماهیر شوروی، شروع به کارگیری روش المان حدی در مسائل عملی در اغلب منابع به «لئونارد هوهانسیان» (Leonard Oganesyan) نسبت داده می‌شود. در اواخر دهه 1950 تا اوایل دهه 1960، «کانگ فنگ» (Kang Feng)، ریاضیدان و دانشمند چینی، یک روش عددی سیستماتیک را برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پیشنهاد کرد. این روش که با عنوان روش تفاضل محدود بر اساس اصل واریانس شناخته می‌شود، در آن زمان یک نوآوری جدید به حساب می‌آمد. رویکردهای مورد استفاده توسط این محققین با هم متفاوت بود اما یک ویژگی مشترک در تمام آن‌ها وجود داشت. تمام این روش‌ها برای حل مسئله، یک محدوده پیوسته را به مجموعه‌ای از محدوده‌های کوچک‌تر تقسیم می‌کردند که به آن‌ها «المان» (Element) گفته می‌شد.
روش ارائه شده توسط هرنیکوف، محدوده مسئله را با استفاده از مفهوم شبکه تقسیم‌بندی می‌کند؛ در حالی که تقسیم‌بندی محدوده در رویکرد کورانت توسط زیرمجموعه‌های مثلثی محدود صورت می‌گیرد و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست آمده از مسئله پیچش یک سیلندر حل می‌شوند. مشارکت کورانت در این زمینه باعث بهبود نتایج مطالعات پیشین شد.
تمایل به استفاده از روش المان محدود در دهه 1960 و 1970 اوج گرفت. در سال 1973، «گیلبرت استرنگ» (Gilbert Strang) و «جورج فیکس» (George Fix)، یک مبنای ریاضی دقیق برای این روش ارائه دادند. پس از این مطالعه، روش المان محدود برای مدل‌سازی عددی سیستم‌های فیزیکی تعمیم داده شد و در محدوده گسترده‌ای از مسائل مهندسی نظیر الکترومغناطیس، انتقال حرارت، دینامیک سیالات و بسیاری از مسائل دیگر مورد استفاده قرار گرفت.
مفاهیم اساسی روش المان محدود
همان‌گونه که اشاره شد، محدوده مسئله مورد تحلیل با روش المان محدود، به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تر تقسیم می‌شود. این تقسیم‌بندی دارای چندین مزیت است:
[list]
[*]نمایش دقیق هندسه‌های پیچیده
[*]در نظر گرفتن خصوصیات متفاوت ماده
[*]نمایش ساده راه حل کلی
[*]تشخیص تغییرات محلی
[/list]فرآیند کلی حل مسئله در روش المان محدود دارای دو مرحله است. در ابتدا، محدوده مسئله به مجموعه‌ای از محدوده‌های کوچک‌تر تقسیم می‌شود. هر یک از این محدوده‌های کوچک بیانگر یک دستگاه معادلات مختص به هر یک از المان‌ها هستند. در ادامه، تمام این دستگاه‌ها به منظور انجام محاسبات نهایی در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. این دستگاه معادلات کلی را می‌توان با استفاده از مقادیر اولیه مسئله اصلی حل کرد و نتایج عددی مربوط به آن را به دست آورد. در ادامه، هر یک از مراحل حل مسئله با استفاده از FEM را به طور تخصصی توضیح می‌دهیم.
در مرحله اول، معادله مرتبط با هر یک از المان‌ها به صورت مجموعه معادلات ساده‌ای است که معادلات پیچیده اصلی (اغلب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی) را در نواحی مختلف تخمین می‌زند. برای انجام این تخمین، معمولاً FEM به عنوان حالت خاص «روش گالرکین» (Galerkin Method) در نظر گرفته می‌شود. این فرآیند در ریاضیات، با انتگرال‌گیری از ضرب داخلی توابع وزنی و باقیمانده و همچنین برابر با صفر قرار دادن حاصل انتگرال صورت می‌گیرد. به عبارت ساده‌تر، این فرآیند با برازش توابع آزمایشی به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، میزان خطای تخمین را به حداقل می‌رساند. مقدار باقیمانده، خطای به دست آمده از توابع آزمایشی است. توابع وزنی نیز توابع تقریب چندجمله‌ای هستند که میزان باقیمانده را نشان می‌دهند. فرآیند مذکور، تمام مشتقات فضایی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حذف می‌کند و آن‌ها را از طریق دو دستگاه زیر به صورت ناحیه‌ای تخمین می‌زند:
[list]
[*]دستگاه معادلات جبری برای مسائل حالت پایدار
[*]دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی برای مسائل گذرا
[/list]این دو دستگاه معادلات مختص به المان‌های مسئله هستند. اگر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به صورت خطی باشند، معادلات المان‌ها نیز خطی خواهند بود و بالعکس. معادلات جبری به دست آمده از مسائل حالت پایدار با استفاده از روش‌های جبر خطی عددی حل می‌شوند؛ در حالی که حل معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده از مسائل گذرا توسط روش‌های استاندارد انتگرال‌گیری عددی نظیر روش اویلر یا «رونگه‐کوتا» (Runge-Kutta) صورت می‌گیرد.
در مرحله دوم، یک دستگاه معادلات کلی با استفاده از معادلات مربوط به المان‌ها تشکیل می‌شود. این فرآیند از طریق تبدیل مختصات گره‌های محلی محدودهای کوچک به گره‌های کلی محدوده اصلی صورت می‌گیرد. برای انجام این تبدیلات فضایی به تنظیم جهت‌گیری مناسب نسبت به دستگاه مختصات مرجع نیاز است. در اغلب موارد، این عملیات توسط نرم‌افزاری مبتنی بر FEM و با استفاده از داده‌های مختصاتی به دست آمده از محدوده‌های کوچک اجرا می‌شود.