مومنتوم خطی2

[amir315hossein]

در این حجم کنترل، رابطه  پیوستگی [url=https://blog.faradars.org/continuity-and-conservation-of-mass][/url]به شکل زیر قابل نمایش است:
رابطه 11
زمانی که جریان به صورت پایا فرض شده باشد، ترم اول در رابطه پیوستگی (رابطه ۱۱) برابر با صفر خواهد بود و فرم نهایی معادله پیوستگی برای حالت پایا به شکل زیر در می‌آید.
رابطه 12
بنابراین با ترکیب معادلات 8، 9، 10 و 12، برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند، قابلیت تغییر شکل ندارد و جریان در آن به صورت پایا فرض شده است، معادله مومنتوم خطی به شکل زیر بانویسی می‌شود:
رابطه 13
در ادامه و در قالب مثالی مفهوم مومنتوم خطی و شیوه استفاده از روابط حاکم بر آن را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
مثال
جریان آب، مطابق شکل زیر از درون یک نازل با دبی 0.6liters/s عبور می‌کند. قطر ورودی و خروجی این نازل به ترتیب برابر با 16 و ۵ میلی‌متر هستند. جرم نازل را 0.1 کیلوگرم و فشار در مقطع ۱ آن را برابر با 464 کیلوپاسکال در نظر بگیرید. نیرویی لازم برای ثابت نگه داشتن این نازل را با استفاده از معادله مومنتوم خطی محاسبه کنید.

قدم اول در حل اکثر مسائل مکانیک سیالات انتخاب حجم کنترل مناسب است. در این مثال، این حجم کنترل طوری در نظر گرفته می‌شود که تمام نازل و آبی که هر لحظه در آن جریان دارد را در بر گیرد. این حجم کنترل در هر دو شکل بالا و پایین با خط‌چین نشان داده شده است. قدم بعدی برای نوشتن معادله مومنتوم خطی، مشخص کردن نیروهای وارد بر حجم کنترل است. در شکل زیر نیروهای عمودی وارد بر اجزای این حجم کنترل به تصویر کشیده شده‌اند.

توجه شود که نیروی فشار اتمسفری به طور یکسان در ورودی و خروجی وارد می‌شود بنابراین این دو نیرو اثر یکدیگر را خنثی می‌کنند؛ به همین دلیل، در شکل بالا این دو نیرو نشان داده نشده‌اند. اما باید توجه کرد که نیروی حاصل از فشار نسبی در قسمت پایین و خروجی نازل با هیچ نیرویی خنثی نمی‌شود و این نیرو در شکل بالا به تصویر کشیده شده است.
پس از مشخص کردن حجم کنترل و نیروهای وارد بر آن، نوبت نوشتن معادله مومنتوم خطی است. این معادله در حالت کلی به صورت زیر نشان داده می‌شود.
رابطه 14
در این مثال، اجزایی از معادله بالا که در راستای z هستند برای ما اهمیت دارند. بنابراین معادله مومنتوم خطی را در راستای z به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.
رابطه 15
ترم اول این رابطه با توجه به اینکه جریان به صورت پایا فرض شده است، برابر با صفر در نظر گرفته می‌شود. توجه شود که در معادله مومنتوم خطی، جهت مثبت به سمت بالا فرض شده است. نکته دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که در رابطه بالا ضرب داخلی V.^n
برای جریان به سمت خارج حجم کنترل مثبت و برای جریان به سمت داخل حجم کنترل منفی است. این مورد در رابطه زیر مشاهده می‌شود.
رابطه 16
ترم دوم سمت چپ معادله مومنتوم خطی (رابطه ۱۵)، شامل انتگرالی روی سطح کنترل است و برای محاسبه آن باید توزیع مناسبی از سرعت و چگالی سیال در ورودی و خروجی حجم کنترل، تعیین شود.
در این مثال، فرض می‌شود که سرعت در ورودی و خروجی، توزیع یکنواختی دارند. در ادامه و با توجه به فرض غیر قابل تراکم بودن جریان، چگالی سیال ثابت و برابر با ρ
در نظر گرفته می‌شود. در نهایت معادله مومنتوم خطی (رابطه ۱۵) به شکل زیر در می‌آید.
رابطه 17
در این معادله ˙m
جریان جرمی را نشان می‌دهد و با رابطه زیر تعیین می‌شود.

با ساده‌سازی رابطه 17 مقدار نیروی دیواره که خواسته مسئله است به شکل زیر محاسبه می‌شود.
رابطه 18