24-08-2020, 12:07 AM
معادله مومنتوم خطی
قانون دوم نیوتن بیان می‌کند که نرخ زمانی تغییرات «مومنتوم خطی» (Linear Momentum) یک سیستم، برابر با مجموع نیروهای خارجی است که به آن سیستم وارد می‌شوند. مومنتوم خطی یا تکانه خطی به صورت کلی برابر با حاصل ضرب جرم یک جسم در سرعت آن تعریف می‌شود. این مفهوم در مکانیک سیالات به صورت یک رابطه انتگرالی نوشته می‌شود بنابراین در ابتدا نیاز به تعیین المان انتگرال روی یک جز کوچک سیستم داریم. مومنتوم این جز کوچک سیستم که جرمی برابر با ρdv
دارد، به صورت Vρdv تعریف می‌شود و مومنتوم کل این سیستم را می‌توان با انتگرال‌گیری روی تمام اجزای سیستم به فرم ∫sysρdv
محاسبه کرد. بنابراین با توجه به توضیحات ارائه شده، فرم انتگرالی قانون دوم نیوتن برای یک سیستم به صورت زیر نوشته می‌شود.
![[تصویر: Momentum-Equations1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations1.jpg)
رابطه ۱
نکته‌ای که باید به آن توجه کرد این است که رابطه فوق برای مرجع لخت معتبر است. سیستم مختصاتی که ساکن باشد یک نوع مرجع لخت است. سیستم مختصاتی که روی خط راست و با سرعت ثابت و بدون شتاب حرکت می‌کند نیز یک سیستم لخت در نظر گرفته می‌شود. همانطور که اشاره شد، تعریف صحیح حجم کنترل یکی از مباحث مهم در مسائل مکانیک سیالات است. در این بخش نیز ما به دنبال یافتن تعریف مناسبی برای رابطه فوق در حالت حجم کنترلی هستیم. بنابراین حجم کنترلی که به سیستم متصل است، مطابق شکل زیر در نظر گرفته می‌شود. در این مجموعه نیروهای وارد بر حجم کنترل و سیستم یکسان هستند و به فرم زیر نمایش داده می‌شوند.
![[تصویر: Momentum-Equations2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations2.jpg)
رابطه ۲
![[تصویر: Momentum-Equations5.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations5.jpg)
برای یک حجم کنترل که مشابه شکل بالا منطبق بر سیستم و فاقد سرعت و تغییر شکل است، رابطه انتقال رینولدز را می‌توانیم باز نویسی کنیم (برای مطالعه جزئیات رابطه انتقال رینولدز به مطلب «پیوستگی و بقای جرم در سیالات — از صفر تا صد» مراجعه کنید). در ادامه، پارامتر b در معادله انتقال رینولدز را برابر با سرعت در نظر می‌گیریم، در این صورت Bsys
برابر با مومنتوم سیستم می‌شود و در نهایت فرم نهایی معادله انتقال رینولدز به شکل زیر در می‌آید:
![[تصویر: Momentum-Equations3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations3.jpg)
رابطه 3
ترم سمت چپ معادله بالا نشان دهنده نرخ تغییرات مومنتوم خطی سیستم است که با مشتق مادی نشان داده می‌شود. این ترم در معادله بالا به صورت مجموع دو عبارت وابسته به حجم کنترل نوشته می‌شود. عبارت اول، نرخ تغییرات مومنتوم خطی محتویات حجم کنترل است و عبارت دوم نرخ جریان مومنتوم از سطوح حجم کنترل را نشان می‌دهد. به عبارت دیگر ذراتی که به داخل و یا خارج از حجم کنترل در حال حرکت هستند، با خود مومنتوم خطی حمل می‌کنند. در نهایت با جایگذاری روابط ۱ و ۲ در رابطه ۳، فرم نهایی معادله مومنتوم خطی برای یک حجم کنترل ساکن و بدون تغییر شکل مطابق با رابطه زیر به دست می‌آید.
![[تصویر: Momentum-Equations-4.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations-4.jpg)
رابطه 4
در این رابطه، عبارت سمت راست معادله نشان دهنده تمام «نیروهای سطحی» (Surface Forces) و «نیروهای حجمی» (Body Forces) است که بر حجم کنترل وارد می‌شوند. در اکثر مسائل مکانیک سیالات تنها نیروی حجمی که برای رابطه فوق در نظر گرفته می‌شود، نیروی گرانش است.
در صورتی که حجم کنترل انتخاب شده، با سرعت ثابت حرکت کند و تغییر شکلی در آن رخ ندهد باز هم رابطه مومنتوم خطی به دلیل شتاب صفر و لخت بودن سیستم، برای این سیستم و حجم کنترل قابل بیان است. در این حالت نیاز به بازنویسی معادله انتقال رینولدز داریم. همانند قسمت قبل، پارامتر Bsys
در رابطه انتقال رینولدز را برابر با مومنتوم سیستم در نظر می‌گیریم. بنابراین فرم نهایی معادله انتقال رینولدز برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تغییر شکلی در آن رخ نمی‌دهد، به فرم زیر در می‌آید.
![[تصویر: Momentum-Equations6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations6.jpg)
رابطه 5
در رابطه بالا، W سرعت نسبی سیال نسبت به حجم کنترل را نشان می‌دهد و برای به دست آوردن معادله مومنتوم خطی نیاز است که روابط ۱ و ۲ در رابطه فوق جایگذاری شوند. در نهایت معادله مومنتوم خطی برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تغییر شکلی در آن رخ نمی‌دهد به شکل زیر خواهد بود.
![[تصویر: Momentum-Equations7.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations7.jpg)
رابطه ۶
مهمترین پارامتر در معادله بالا، سرعت سیال نسبت به حجم کنترل متحرک است که برای محاسبه آن می‌توان از رابطه زیر استفاده کرد. در این رابطه، ارتباط بین سرعت‌های مختلف در حجم کنترل، نشان داده شده است.
![[تصویر: Momentum-Equations9.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations9.jpg)
![[تصویر: Momentum-Equations8.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations8.jpg)
رابطه ۷
W سرعت نسبی سیال را نشان می‌دهد و برابر با سرعتی است که توسط ناظر متحرک با حجم کنترل، دیده می‌شود. Vcv
سرعت مطلق حجم کنترل را نشان می‌دهد که برابر با سرعت حجم کنترل نسبت به ناظر ساکن است. V نیز سرعت مطلق سیال است که نسبت به ناظر ساکن اندازه‌گیری می‌شود. بنابراین با جایگذاری رابطه سرعت نسبی (رابطه 7) در فرم کلی انتگرالی معادله مومنتوم (رابطه 6)، معادله نهایی مومنتوم خطی به شکل زیر بازنویسی می‌شود.
![[تصویر: Momentum-Equations10.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations10.jpg)
رابطه ۸
در صورتی که جریان در این حجم کنترل، به صورت پایا فرض شود، ترم اول در سمت چپ معادله فوق را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.
![[تصویر: Momentum-Equations11.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations11.jpg)
رابطه 9
همچنین ترم دوم سمت چپ رابطه ۸ برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تغییر شکلی در آن رخ نمی‌دهد را می‌توان به فرم زیر نمایش داد.
![[تصویر: Momentum-Equations12.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Momentum-Equations12.jpg)
رابطه 10
قانون دوم نیوتن بیان می‌کند که نرخ زمانی تغییرات «مومنتوم خطی» (Linear Momentum) یک سیستم، برابر با مجموع نیروهای خارجی است که به آن سیستم وارد می‌شوند. مومنتوم خطی یا تکانه خطی به صورت کلی برابر با حاصل ضرب جرم یک جسم در سرعت آن تعریف می‌شود. این مفهوم در مکانیک سیالات به صورت یک رابطه انتگرالی نوشته می‌شود بنابراین در ابتدا نیاز به تعیین المان انتگرال روی یک جز کوچک سیستم داریم. مومنتوم این جز کوچک سیستم که جرمی برابر با ρdv
دارد، به صورت Vρdv تعریف می‌شود و مومنتوم کل این سیستم را می‌توان با انتگرال‌گیری روی تمام اجزای سیستم به فرم ∫sysρdv
محاسبه کرد. بنابراین با توجه به توضیحات ارائه شده، فرم انتگرالی قانون دوم نیوتن برای یک سیستم به صورت زیر نوشته می‌شود.
رابطه ۱نکته‌ای که باید به آن توجه کرد این است که رابطه فوق برای مرجع لخت معتبر است. سیستم مختصاتی که ساکن باشد یک نوع مرجع لخت است. سیستم مختصاتی که روی خط راست و با سرعت ثابت و بدون شتاب حرکت می‌کند نیز یک سیستم لخت در نظر گرفته می‌شود. همانطور که اشاره شد، تعریف صحیح حجم کنترل یکی از مباحث مهم در مسائل مکانیک سیالات است. در این بخش نیز ما به دنبال یافتن تعریف مناسبی برای رابطه فوق در حالت حجم کنترلی هستیم. بنابراین حجم کنترلی که به سیستم متصل است، مطابق شکل زیر در نظر گرفته می‌شود. در این مجموعه نیروهای وارد بر حجم کنترل و سیستم یکسان هستند و به فرم زیر نمایش داده می‌شوند.
رابطه ۲برای یک حجم کنترل که مشابه شکل بالا منطبق بر سیستم و فاقد سرعت و تغییر شکل است، رابطه انتقال رینولدز را می‌توانیم باز نویسی کنیم (برای مطالعه جزئیات رابطه انتقال رینولدز به مطلب «پیوستگی و بقای جرم در سیالات — از صفر تا صد» مراجعه کنید). در ادامه، پارامتر b در معادله انتقال رینولدز را برابر با سرعت در نظر می‌گیریم، در این صورت Bsys
برابر با مومنتوم سیستم می‌شود و در نهایت فرم نهایی معادله انتقال رینولدز به شکل زیر در می‌آید:
رابطه 3ترم سمت چپ معادله بالا نشان دهنده نرخ تغییرات مومنتوم خطی سیستم است که با مشتق مادی نشان داده می‌شود. این ترم در معادله بالا به صورت مجموع دو عبارت وابسته به حجم کنترل نوشته می‌شود. عبارت اول، نرخ تغییرات مومنتوم خطی محتویات حجم کنترل است و عبارت دوم نرخ جریان مومنتوم از سطوح حجم کنترل را نشان می‌دهد. به عبارت دیگر ذراتی که به داخل و یا خارج از حجم کنترل در حال حرکت هستند، با خود مومنتوم خطی حمل می‌کنند. در نهایت با جایگذاری روابط ۱ و ۲ در رابطه ۳، فرم نهایی معادله مومنتوم خطی برای یک حجم کنترل ساکن و بدون تغییر شکل مطابق با رابطه زیر به دست می‌آید.
رابطه 4در این رابطه، عبارت سمت راست معادله نشان دهنده تمام «نیروهای سطحی» (Surface Forces) و «نیروهای حجمی» (Body Forces) است که بر حجم کنترل وارد می‌شوند. در اکثر مسائل مکانیک سیالات تنها نیروی حجمی که برای رابطه فوق در نظر گرفته می‌شود، نیروی گرانش است.
در صورتی که حجم کنترل انتخاب شده، با سرعت ثابت حرکت کند و تغییر شکلی در آن رخ ندهد باز هم رابطه مومنتوم خطی به دلیل شتاب صفر و لخت بودن سیستم، برای این سیستم و حجم کنترل قابل بیان است. در این حالت نیاز به بازنویسی معادله انتقال رینولدز داریم. همانند قسمت قبل، پارامتر Bsys
در رابطه انتقال رینولدز را برابر با مومنتوم سیستم در نظر می‌گیریم. بنابراین فرم نهایی معادله انتقال رینولدز برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تغییر شکلی در آن رخ نمی‌دهد، به فرم زیر در می‌آید.
رابطه 5در رابطه بالا، W سرعت نسبی سیال نسبت به حجم کنترل را نشان می‌دهد و برای به دست آوردن معادله مومنتوم خطی نیاز است که روابط ۱ و ۲ در رابطه فوق جایگذاری شوند. در نهایت معادله مومنتوم خطی برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تغییر شکلی در آن رخ نمی‌دهد به شکل زیر خواهد بود.
رابطه ۶مهمترین پارامتر در معادله بالا، سرعت سیال نسبت به حجم کنترل متحرک است که برای محاسبه آن می‌توان از رابطه زیر استفاده کرد. در این رابطه، ارتباط بین سرعت‌های مختلف در حجم کنترل، نشان داده شده است.
رابطه ۷W سرعت نسبی سیال را نشان می‌دهد و برابر با سرعتی است که توسط ناظر متحرک با حجم کنترل، دیده می‌شود. Vcv
سرعت مطلق حجم کنترل را نشان می‌دهد که برابر با سرعت حجم کنترل نسبت به ناظر ساکن است. V نیز سرعت مطلق سیال است که نسبت به ناظر ساکن اندازه‌گیری می‌شود. بنابراین با جایگذاری رابطه سرعت نسبی (رابطه 7) در فرم کلی انتگرالی معادله مومنتوم (رابطه 6)، معادله نهایی مومنتوم خطی به شکل زیر بازنویسی می‌شود.
رابطه ۸در صورتی که جریان در این حجم کنترل، به صورت پایا فرض شود، ترم اول در سمت چپ معادله فوق را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.
رابطه 9همچنین ترم دوم سمت چپ رابطه ۸ برای حجم کنترلی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تغییر شکلی در آن رخ نمی‌دهد را می‌توان به فرم زیر نمایش داد.
رابطه 10