23-08-2020, 11:52 PM
درک روش المان محدود با استفاده از کاربرد عملی آن یعنی «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) یا اصطلاحاً «FEA» ساده‌تر است. FEA، یک ابزار محاسباتی برای اجرای تحلیل‌های مهندسی است. این ابزار از روش‌های تولید مش برای تقسیم‌بندی یک مسئله پیچیده به المان‌های کوچک و کدهای نرم‌افزاری الگوریتم‌های FEM بهره می‌برد. در هنگام به کارگیری FEA، یک مسئله پیچیده معمولاً به صورت یک سیستم فیزیکی بر مبنای قواعدی نظیر «معادله تیر اویلر-برنولی» (Euler-Bernoulli Beam Equation)، «معادله گرما» (Heat Equation) یا «معادلات ناویه-استوکس» (Navier-Stokes Equations) در نظر گرفته می‌شود که توسط معادلات انتگرالی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیان شده است. هر یک از المان‌های کوچک این مسئله پیچیده، نواحی مختلف سیستم فیزیکی تعریف شده را نشان می‌دهند.
به منظور تحلیل مسائلی با محدوده‌های بسیار پیچیده (ماشین‌ها و خطوط انتقال نفت)، محدوده‌های متغیر (در حین واکنش حالت جامد به همراه تغییر مرز)، نیاز به دقت‌های متفاوت در بخش‌های مختلف محدوده یا عدم هموار بودن روش حل، FEA گزینه مناسبی خواهد بود. در شرایطی که نیاز به ساخت نمونه‌های اولیه با دقت بالا باشد، شبیه‌سازی‌های FEA با فراهم کردن یک ابزار ارزشمند، تعداد نمونه‌های مورد نیاز را کاهش می‌دهند. به عنوان مثال، در شبیه‌سازی تصادف خودرو از جلو، امکان افزایش دقت نواحی مهم نظیر بخش جلویی ماشین و کاهش این دقت در بخش عقب وجود دارد. این کار باعث کاهش هزینه شبیه‌سازی می‌شود. در پیش‌بینی آب و هوا توسط روش‌های عددی نیز پیش‌بینی دقیق پدیده‌های شدید غیرخطی (مانند گردباد یا گرداب) از اهمیت بالاتری نسبت به نواحی نسبتاً آرام برخوردار است.
برای درک بهتر کاربرد روش المان محدود، به معرفی یک مثال می‌پردازیم. به تصویر زیر دقت کنید. این تصویر، نمونه‌ای از مش FEM ساخته شده برای حل یک مسئله مغناطیسی را نمایش می‌دهد. رنگ‌های مختلف در این مش‌بندی، بیانگر خصوصیات مادی متفاوت برای هر ناحیه هستند. در این مثال، سیم‌پیچ رسانا با رنگ نارنجی، قطعه فرومغناطیس (احتمالاً آهن) با رنگ آبی روشن و هوا با رنگ خاکستری نشان داده شده است. تفاوت اندازه المان‌ها در نواحی مختلف، دقت تحلیل در آن محل‌ها را تغییر می‌دهد. معمولاً هر چه اندازه المان‌ها کوچک‌تر باشد (مش‌بندی ریز)، دقت نتایج و متعاقباً زمان مورد نیاز برای اجرای تحلیل افزایش می‌یابد. به این ترتیب، تحلیل‌گر برای ایجاد توازن بین زمان تحلیل و دقت بالا در نواحی مهم، مش‌بندی مسئله را تقریباً بهینه می‌کند. با اینکه هندسه این مسئله ساده به نظر می‌رسد، محاسبه میدان مغناطیسی آن بدون استفاده از یک نرم‌افزار FEM و تنها با به کارگیری معادلات جبری کار بسیار چالش‌برانگیزی خواهد بود.
![[تصویر: Example_of_2D_mesh.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Example_of_2D_mesh.png)
تصویر زیر، نتایج تحلیل مسئله بالا را به همراه یک حفاظ مغناطیسی استوانه‌ای شکل نمایش می‌دهد. اکنون به تفسیر کلی نتایج به دست آمده می‌پردازیم. بخش فرومغناطیس استوانه از ناحیه داخل استوانه محافظت می‌کند. این عمل از طریق انحراف میدان مغناطیسی سیم‌پیچ (ناحیه مستطیلی در سمت راست) صورت می‌گیرد. رنگ هر یک از نواحی، بیانگر چگالی شار مغناطیسی است. با توجه به مقیاس‌های مشخص شده در راهنما، رنگ قرمز بیشترین دامنه مغناطیسی را نشان می‌دهد و ناحیه داخلی استوانه، کمترین مقدار دامنه (آبی تیره به همراه خطوط شار با فاصله زیاد) را دارد. این مسئله، عملکرد صحیح حفاظ مغناطیسی تأیید می‌کند.
![[تصویر: FEM_example_of_2D_solution.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/FEM_example_of_2D_solution.png)
به منظور تحلیل مسائلی با محدوده‌های بسیار پیچیده (ماشین‌ها و خطوط انتقال نفت)، محدوده‌های متغیر (در حین واکنش حالت جامد به همراه تغییر مرز)، نیاز به دقت‌های متفاوت در بخش‌های مختلف محدوده یا عدم هموار بودن روش حل، FEA گزینه مناسبی خواهد بود. در شرایطی که نیاز به ساخت نمونه‌های اولیه با دقت بالا باشد، شبیه‌سازی‌های FEA با فراهم کردن یک ابزار ارزشمند، تعداد نمونه‌های مورد نیاز را کاهش می‌دهند. به عنوان مثال، در شبیه‌سازی تصادف خودرو از جلو، امکان افزایش دقت نواحی مهم نظیر بخش جلویی ماشین و کاهش این دقت در بخش عقب وجود دارد. این کار باعث کاهش هزینه شبیه‌سازی می‌شود. در پیش‌بینی آب و هوا توسط روش‌های عددی نیز پیش‌بینی دقیق پدیده‌های شدید غیرخطی (مانند گردباد یا گرداب) از اهمیت بالاتری نسبت به نواحی نسبتاً آرام برخوردار است.
برای درک بهتر کاربرد روش المان محدود، به معرفی یک مثال می‌پردازیم. به تصویر زیر دقت کنید. این تصویر، نمونه‌ای از مش FEM ساخته شده برای حل یک مسئله مغناطیسی را نمایش می‌دهد. رنگ‌های مختلف در این مش‌بندی، بیانگر خصوصیات مادی متفاوت برای هر ناحیه هستند. در این مثال، سیم‌پیچ رسانا با رنگ نارنجی، قطعه فرومغناطیس (احتمالاً آهن) با رنگ آبی روشن و هوا با رنگ خاکستری نشان داده شده است. تفاوت اندازه المان‌ها در نواحی مختلف، دقت تحلیل در آن محل‌ها را تغییر می‌دهد. معمولاً هر چه اندازه المان‌ها کوچک‌تر باشد (مش‌بندی ریز)، دقت نتایج و متعاقباً زمان مورد نیاز برای اجرای تحلیل افزایش می‌یابد. به این ترتیب، تحلیل‌گر برای ایجاد توازن بین زمان تحلیل و دقت بالا در نواحی مهم، مش‌بندی مسئله را تقریباً بهینه می‌کند. با اینکه هندسه این مسئله ساده به نظر می‌رسد، محاسبه میدان مغناطیسی آن بدون استفاده از یک نرم‌افزار FEM و تنها با به کارگیری معادلات جبری کار بسیار چالش‌برانگیزی خواهد بود.
تصویر زیر، نتایج تحلیل مسئله بالا را به همراه یک حفاظ مغناطیسی استوانه‌ای شکل نمایش می‌دهد. اکنون به تفسیر کلی نتایج به دست آمده می‌پردازیم. بخش فرومغناطیس استوانه از ناحیه داخل استوانه محافظت می‌کند. این عمل از طریق انحراف میدان مغناطیسی سیم‌پیچ (ناحیه مستطیلی در سمت راست) صورت می‌گیرد. رنگ هر یک از نواحی، بیانگر چگالی شار مغناطیسی است. با توجه به مقیاس‌های مشخص شده در راهنما، رنگ قرمز بیشترین دامنه مغناطیسی را نشان می‌دهد و ناحیه داخلی استوانه، کمترین مقدار دامنه (آبی تیره به همراه خطوط شار با فاصله زیاد) را دارد. این مسئله، عملکرد صحیح حفاظ مغناطیسی تأیید می‌کند.