سیال تراکم پذیر

[amirhossein toranjian]

سیال تراکم پذیر
در حالت کلی و در علم مکانیک، مایعات و گازها را در دسته سیالات (Fluids) قرار می‌دهند. جریان‌های تراکم ناپذیر با مفهوم ثابت ماندن چگالی در زمان و مکان در ارتباط هستند. از دیدگاه تئوری تحلیل فیزیک سیال تراکم‌پذیر مشکل‌تر از سیال تراکم ناپذیر است. در واقعیت مفهوم تراکم ناپذیری را می‌توان برای اکثر مایعات در نظر گرفت چرا که با اعمال فشار روی آن‌ها چگالیشان تغییر نخواهند کرد.
بررسی گازها از دیدگاه ترمودینامیکی
در جریاناتی که دارای سرعت بالایی هستند، عبارت v2/2 به اندازه‌ای بزرگ است که دیگر خواص سیال را تحت تاثیر قرار می‌دهد. جریان‌های تراکم‌پذیر از دیدگاه آنتروپی و انرژی مورد بررسی قرار می‌گیرند. در حقیقت مطالعه مفهوم تراکم‌پذیری در علم ترمودینامیک و مکانیک سیالات قرار می‌گیرد.

گاز کامل
یک گاز به سیستمی از ذرات اتلاق می‌شود که به دلیل نیروهای بین مولکولی، ذرات آن دارای حرکاتی تصادفی هستند. این نیروها وابسته به فاصله بین مولکولی آنها است که منجر به تغییر رفتار گاز می‌شود. توجه داشته باشید که علم ترمودینامیک رفتار مجموعه‌ای از ذرات را مورد بررسی قرار می‌دهد. در حقیقت این علم، گاز را به صورت ماکروسکوپیک مطالعه می‌کند.

در شرایط دمایی و فشاری که گاز به صورت تراکم‌پذیر است، مشاهده شده که میانگین فاصله بین مولکولی بیشتر از قطر مولکول‌ها است [حدود ۱۰ برابر است]. بنابراین تمامی خواص جریان، به صورت ماکروسکوپیک قابل بیان است. 


قانون اول ترمودینامیک

یک سیستم به مجموعه جرمی از گاز اتلاق می‌شود که توسط مرزی از اطرافش جدا شده است. مبادله حرارت و کار با سیستم مذکور منجر به تغییر انرژی کل آن می‌شود. 


قانون دوم ترمودینامیک

به منظور پیش بینی جهت یک فرآیند ترمودینامیکی، خاصیت جدیدی تحت عنوان آنتروپی تعریف می‌شود. تغییر آنتروپی یک سیستم که ناشی از انتقال حرارت جزئی dq باشد، برابر با حاصل جمع dq/T و افزایش آنتروپی ناشی از برگشت‌ناپذیری‌های سیستم است. بنابراین برای چنین فرآیندی می‌توان تغییر جزئی آنتروپی را به شکل زیر بیان کرد:

از آنجایی که برگشت‌ناپذیری‌ها همواره منجر به افزایش آنتروپی سیستم می‌شوند بنابراین می‌توان گفت نامساوی زیر در یک فرآیند برگشت‌ناپذیر بایستی برقرار باشد.

به‌منظور محاسبه تغییرات آنتروپی یک فرآیند ترمودینامیکی، دو رابطه را می‌توان از معادلات ارائه شده در بالا استخراج کرد.

فرآیند آیزنتروپیک، به فرآیندی اتلاق می‌شود که در آن تغییری در آنتروپی کل سیستم وجود نداشته باشد. در حقیقت چنین فرآیندی، برگشت‌پذیر و آدیاباتیک در نظر گرفته می‌شود. هنگامی که گاز کاملی فرآیندی آیزنتروپیک را تجربه می‌کند، تغییرات فشار، دما و چگالی را می‌توان با استفاده از رابطه زیر به هم ارتباط داد.

خاصیت‌های مهم جریان تراکم‌پذیر

به‌طور ساده می‌توان گفت، جریان تراکم‌پذیر عبارت است از جریانی که در آن چگالی متغیر باشد. در حالت کلی این تغییرات بسیار در فشار و دما است که منجر به تراکم‌پذیری سیال می‌شود. از این رو، با توجه به معادله برنولی، فشار سیال متحرک نیز متغیر خواهد بود.

قبل از توضیح و بدست آوردن معادلات مربوط به جریان تراکم‌پذیر، تعدادی از پارامترهای مرتبط با این نوع از جریان را معرفی می‌کنیم.

مدول بالک (Eν)

ضریب انبساط حجمی 

این ضریب بیان‌کننده میزان تغییرات چگالی نسبت به دما است. بنابراین این خاصیت تاثیرات تغییر فشار سیال در چگالی آن را مورد توجه قرار نمی‌دهد. 

تراکم‌پذیری (κ)

ضریب تراکم‌پذیری نشان می‌دهد که با تغییر فشار سیال، چگالی آن به چه میزان تغییر می‌کند

معادلات اصلی برای جریان تراکم‌پذیر
[list]
[*]جریان در سمت چپ و راست حجم کنترل به صورت یکنواخت در نظر گرفته شده.

[*]مساحتِ هر دو طرف حجم کنترل با یکدیگر برابر است.

[*]جریان غیر لزج و پایا است؛ هم‌چنین از نیروهای حجمی صرف نظر شده.

[*]هیچ مبادله انرژی و یا کار با حجم کنترل صورت نمی‌گیرد.
[/list]

همچنین خاصیتی را تحت عنوان آنتالپی، برابر با p/ρ+e=h  تعریف می کنیم.

انتقال موج در یک محیط تراکم‌پذیر
در بالا، معادلات اصلی را برای سیال تراکم‌پذیر بیان کردیم. در این قسمت قصد داریم تا با استفاده از این معادلات، جریان تراکم‌پذیر را توصیف کنیم.

با توجه به معادله پایستگی جرم می‌توان سرعت موج صوتی  را در محیط انتشارش یافت.

سیستم در حالت تعادل ترمودینامیکی خود قرار دارد؛ از طرفی می‌توان فرض کرد که گاز مفروض از بینهایت لایه تشکیل شده. این جمله به این معناست که لایه‌های قرار گرفته درون سیلندر، حضور پیستون را حس نمی‌کنند.

در این لحظه پیستون به اندازه‌ای بسیار اندک به سمت راست حرکت داده می‌شود. در این زمان لایه‌ چسبیده به پیستون به اندازه اندکی فشرده شده و دیگر لایه‌های گاز این تغییر را (در لحظه اولیه) حس نمی‌کنند. با گذشت زمان دیگر لایه‌های گاز نیز به تدریج از حرکت پیستون مطلع می‌شوند. [در حقیقت مطلع شدن به معنای فشرده شدن آنها است.] بنابراین با گذشت زمان خبر به حرکت در آمدن پیستون در کل سیال منتقل می‌شود. این باخبر شدن توسط «موج صوتی» اتفاق می‌افتد. همانطور که اسم آن پیدا است، سرعت انتقال این موج برابر با سرعت صوت است.
اجازه دهید سرعت انتقال اطلاعات (یا همان سرعت موج صوتی) را بدست آوریم. در ابتدا فرض کنید که پیستون ساکن است. ناگهان آن را با سرعتِ جزئی dV به حرکت در می‌آوریم. در این حالت موجی صوتی با سرعت a در گاز ایجاد می‌شود. تغییر اندک سرعت پیستون منجر به تغییر در چگالی و فشار هوای جلوی آن می‌شود.
در این حالت به‌منظور تحلیل سیستم راحت‌تر این است که موج را ساکن فرض کنیم. از این رو تمامی سرعت‌های موجود در مسئله را با a- جمع می‌کنیم [از مفهوم نسبی بودن سرعت استفاده شده است]. در دو تصویر زیر این معادل‌سازی انجام شده است.

معادله پیوستگی (یا همان بقای جرم)

نرخ جریان عبوری از مرزهای حجم کنترل پایسته است، از این رو می‌توان گفت:

معادله بالا، دبی جریان در چپ و راست حجم کنترل را نشان می‌دهد.

بقای مومنتوم

از آنجایی که ضخامت (در راستای محور x) مرزهای موج صوتی بسیار اندک است، می‌توان از حضور نیروهای برشی قرار گرفته بر روی حجم کنترل – در مقابل نیروی فشاری وارد به آن – صرف نظر کرد. با این فرضیات معادله بقای مومنتوم برای این سیستم به صورت زیر قابل بیان است.

معادله انرژی

از آنجایی که ضخامت موج بسیار نازک است و سرعت آن نیز بسیار زیاد، می‌توان از انتقال حرارت صورت گرفته با آن صرف نظر کرد؛ از این رو فرآیند ترمودینامیکی مفروض به صورت آدیاباتیک در نظر گرفته می‌شود. با فرض آدیاباتیک بودن فرآیند، معادله پایستگی انرژی برای این موج صوتی را می‌توان به شکل زیر نوشت:

معادله آنتروپی
به‌منظور تعیین جهت فرآیند ترمودینامیکی بایستی تغییرات آنتروپی را بیابیم. با برابر قرار دادن سمت راست دو معادله بالا به رابطه زیر می‌رسیم.

بنابراین از آنجایی که تغییرات آنتروپی برابر با صفر است، فرآیند مفروض اتفاق خواهد افتاد. با برابر قرار دادن سمت راست معادلات پیوستگی و مومنتوم که اندکی بالاتر بیان شدند، می‌توان سرعت صوت را در قالب معادله زیر یافت.

توجه داشته باشید که برای یک فرآیند آیزنتروپیک رابطه زیر میان چگالی و فشار برقرار است.