فیبوناچی

[mahdi mahalbani]

کاربرد فیبوناچیونحوه محاسبه ان را بنویسید؟

[Hosein yousefi]

[font=sans-serif]در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:
{\displaystyle F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}
غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:
۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱
این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.
[/font]

[font='Linux Libertine', Georgia, Times, serif]دنباله فیبوناچیویرایش[/font]
[font=sans-serif]در واقع فيبوناچي در سال 1202 به مسئله عجيبي علاقمند شد. او مي خواست بداند اگر يک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاري براي زاد و ولد آنها تعريف کند در نهايت نتيجه چگونه خواهد شد. فرضيات اينگونه بود :
- شما يک جفت خرگوش نر و ماده داريد که همين الآن بدنيا آمده اند.
- خرگوشها پس از يک ماه بالغ مي شوند.
- دوران بارداري خرگوشها يک ماه است.
- هنگامي که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما" باردار مي شود.
- در هر بار بارداري خرگوش ماده يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا مي آورد.
- خرگوش ها هرگز نمي ميرند.
حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت؟
فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn).اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوش های متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:
x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.
۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…
فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.
رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:
{\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,\forall n>2:F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}
برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.[/font]

[سعيد روستايي]

لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان قرن ۱۲ میلادی در ایتالیا متولد شد و بزرگترین اثر وی کشف اعدادی طلایی از روی حل مساله ازدیاد تعداد خرگوش ها بود. اعداد طلایی کشف شده توسط این دانشمند را به احترامش اعداد فیبوناچی می نامند. دنباله فیبوناچی با صفر و یک شروع می شود و هر عدد مجموع دو عدد قبلی می باشد …۳۷۷-۲۳۳-۱۴۴-۸۹-۵۵-۳۴-۲۱-۱۳-۸-۵-۳-۲-۱-۱
تا به حال هماهنگی های زیادی بین روابط این اعداد و قوانین طبیعت دیده شده است. نسبت های فیبوناچی در همه جا دیده می شوند، از فاصله حرکت سیاره ها به دور ستارگان تا فاصله حرکت الکترون ها به دور هسته اتم. این اعداد نسبت هایی با یکدیگر دارند که در علم اقتصاد ،بازار هاي مالي و تالارهاي بورس نیز کاربرد دارد.

[علیرضا]

کاربرد فیبوناچیونحوه محاسبه ان را بنویسید؟

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود :


غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از :
۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬
۱۷۷۱۱

برای رسم مارپیچ طلایی یا فیبوناچی از راس ( گوشه ) هر مربع یك كمان به شعاعی برابر ضلع آن مربع رسم می‌كنیم . به این مارپیچ بدست آمده ، اسپیرال لگاریتمی هم گفته میشود .

[مسعود مهرپوریان]

کاربرد فیبوناچیونحوه محاسبه ان را بنویسید؟

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود :


غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از :
۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬
۱۷۷۱۱

برای رسم مارپیچ طلایی یا فیبوناچی از راس ( گوشه ) هر مربع یك كمان به شعاعی برابر ضلع آن مربع رسم می‌كنیم . به این مارپیچ بدست آمده ، اسپیرال لگاریتمی هم گفته میشود .

[مرادي شمامي]

"عدد فی" از دنباله ی فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هرجمله با مجموع دو جمله ی پیشین خود برابری می کند. بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله ی کنار هم خاصیت حیرت انگیزی نزدیک به عدد 1.618 را دارد که به "نسبت طلایی" مشهور است.
اعداد فیبوناچی

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است. وی نخستین ریاضیدان بزرگ اروپا در قرن سیزدهم است که بیشتر فعالیت هایش از آثار ریاضیدان‌های مسلمان به خصوص خوارزمی، کرجی و ابوکامل تأثیر پذیرفته است.

با وجود گستردگی طبیعت و وجود انواع موجودات پیرامون انسان‌ها، نظم خاصی بر همه چیز حاکم است که با پیشرفت علوم بشری، این نظم بیش از پیش مشخص‌تر می‌شود. شاید در زمان یادگیری برخی از مفاهیم علمی، بسیاری از موارد بی معنی به نظر برسد، اما نظم خاصی در پشت همه چیز نهفته است. ریاضیات یکی از علوم پایه است که کشف اسرار آن، کلید حل معمای موجود در طبیعت است.

اعداد فیبوناچی

این اعداد در هستی کشف شده اند. در قسمت لاک حلزون از زاویه فی استفاده شده است. شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند. اندازه گیری زاویه شاخه ها نشان می دهد که در الگوی رشد آن ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد. درختان با پیروی از این نوع الگوی رشد، قادرند درصد بیشتری از نور خورشید را جذب کنند.

دانه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی روبروی هم رشد می کنند. طبق تحقیقات انجام شده نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ بعدی 1.618 است. حتی در ساختار شکل گوش ما هم از این اعداد تبعیت شده است.

اعداد فیبوناچی

علاوه بر طبیعت، از زمان باستان بسیاری از هنرمندان و معماران نیز از رابطه‌های ریاضی و هندسی در آثار خود استفاده می‌کردند. برای مثال می‌توان به آثار تاریخی باقی مانده از دوران مصر باستان، یونان و رم اشاره کرد

[roohall]

اگر به ریاضیات علاقه داشته باشید حتما باسری فیبو ناجی آشنا هستید سری فیبوناجی رشته ای از اعداد است که درآن اعداد غیر از دوعدد اول با محاسبه ی مجموع دو عدد قبلی ایجاد می شوند.
اولین اعداد سری فیبوناجی عبارت است از:
4181،2584،1597،610،377،233،144،89،55،34،21،13،8،5،3،2
،1،0
(عددفی) از دنبالهی فیبوناجی مشتق شده است تصاعد مشهودی که ثمرش تنها به این دلیل نیست که هر جمله با مجموع دو جمله پیشین خود برابر می کند بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله کنار هم خاصیت حیرت انگیزی نزدیک به عدد 1.618 را دارد که به نسبت طلا یی مشهور است.

[محسن نعیمی]

کاربرد فیبوناچیونحوه محاسبه ان را بنویسید؟

صول كار با انواع فیبوناچی

انواع ابزارهای فیبوناچی در بازارهای مالی، روشی برای تحلیل بازگشت یا ادامه روند می باشد. از منظری انواع ابزارهای فیبوناچی نقاط حمایت و مقاومت می باشند كه با ابزارها و روش های گوناگون رسم می شوند. این سطوح بازگشت بر خلاف حمایت و مقاومت های قبلی كه تنها قیمتی خاص را نقطه حساس تلقی می كردند می توانند قیمتی خاص، منحنی روی نموداری، خطی مورب یا زمان خاصی را نقطه حساس حمایت یا مقاومت تعریف كنند. در استفاده از ابزارهای فیبوناچی درصدها اهمیتی فوق‌العاده دارند. عموم این درصدها از نسبت درصدهای بین اعداد فیبوناچی بدست می آیند. به غیر از چند عدد ابتدای سری اعداد فیبوناچی، هر كدام از اعداد دنباله، تقریبا 1.618 برابر عدد قبل از خود هستند (نسبت طلایی) و هر عدد 0.618 برابر عدد بعد از خود می باشد. این نسبت ها به درصد به ترتیب 161.8 درصد و 61.8 درصد می شوند. درصدهای دیگری نیز مهم هستند كه در زیر می آید. تقسیم عدد اول به عدد دوم سری اعداد فیبوناچی یك به یك یا به عبارتی 100 درصد را نشان می دهد. تقسیم عدد دوم به عدد سوم سری اعداد فیبوناچی 0.5 یا به عبارتی 50 درصد را نشان می دهد. در اعداد بالاتر سری اعداد فیبوناچی و تقسیم هر عدد به دو عدد بعد از آن، مشاهده می شود حاصل تقسیم به 38.2 درصد تمایل می كند. در اعداد بالاتر سری اعداد فیبوناچی و تقسیم هر عدد به سه عدد بعد از آن، مشاهده می شود حاصل تقسیم به 23.6 درصد تمایل دارد.         این تناسبات در بازارهای بورس بقدری مقدس شده كه بیشتر معامله کنندگان به آن احترام گذاشته و بدقت آنها را مراعات می كنند و نقاطی برای ورود و خروج از معاملات تلقی میشوند و شاید این پدیده دال بر این باشد كه حس طمع و ترس انسانها در جهت كسب سود و یا فرار از زیان و حفظ سرمایه با تناسبات طلایی بشدت گره خورده است .بسیاری از فرآیندهای طبیعی از جمله ترکیب ساختار بدن موجودات زنده نظم مشخصی دارند و از دنباله‌ی اعدادی تبعیت می‌کنند که امروزه با نام دنباله‌ی اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی - Fibonacci)  شناخته می‌شود. مشهورترین خاصیت این اعداد نسبت دو جمله‌ی متوالی آنها به ازای جملات بزرگ دنباله است که به عدد طلایی مشهور است.

    این دنباله از جمله دنباله‌های عددی است که در طراحی سوالات مسابقات برنامه‌نویسی نیز استفاده می‌شود و گاهی در حل سوالات کاربرد دارد. از این رو آشنایی با روش‌های مختلف تولید جملات آن حائز اهمیت است.

    تعریف: دنباله‌ی اعداد فیبوناچی روی اعداد حسابی به صورت زیر تعریف می‌شود:

Fn=⎧⎩⎨⎪⎪Fn−1+Fn−210n>1n=1n=0Fn={Fn−1+Fn−2n>11n=10n=0

  

    همانگونه که از تعریف مشخص است، جملات این دنباله از جمع دو جمله‌ی قبلی آن با شروع از دو مقدار صفر و یک به دست می‌آید:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

  

محاسبه‌ی بازگشتی بر اساس تعریف

  [بازگشت به فهرست]

ساده‌ترین راهکار برای محاسبه‌ی اعداد دنباله‌ی فیبوناچی استفاده از تابع بازگشتی زیر است:

      

1 

long long fibo_1(int n){

2 

    if(n < 2)

3 

        return n;

4 

    return fibo_1(n - 1) + fibo_1(n - 2);

5 

}

  

    این تابع فراخوانی تابع با مقدار nn  را به فراخوانی بازگشتی با دو مقدار بسیار نزدیک به nn  تبدیل می‌کند. بنابراین می‌توان پیش‌بینی کرد که زمان تولید خروجی نسبت به اندازه‌ی ورودی از مرتبه‌ی نمایی باشد. برای مثال فراخوانی‌های بازگشتی تابع برای محاسبه‌ی F7F7  در شکل زیر آمده است:

      

      

    به این ترتیب برای محاسبه‌ی F7F7  تابع مذکور 4141  بار فراخوانی می‌شود که در مقایسه با مقدار nn  مقرون به صرفه نیست. دلیل این فراخوانی‌های زیاد تکرار در محاسبه‌ی جملات میانی است. به عنوان نمونه بر اساس شکل فوق مقدار F2F2  هشت بار به صورت تکراری محاسبه شده است.

      

محاسبه با استفاده از روش برنامه‌نویسی پویا

  [بازگشت به فهرست]

برای رفع مشکل فراخوانی‌های تکراری در محاسبات می‌توان از روش برنامه‌نویسی پویا و حرکت از جزء به  کل استفاده کرد:

      

1 

long long fibo_2(int n){

2 

    if(n < 2)

3 

        return n;

4 

    int f1 = 0, f2 = 1, f3;

5 

    for(int i = 2 ; i <= n ; i++){

6 

        f3 = f1 + f2;

7 

        f1 = f2;

8 

        f2 = f3;

9 

    }

10 

    return f3;

11 

}

  

    مرتبه‌ی اجرایی محاسبه‌ی جمله‌ی nn- ام دنباله‌ی فیبوناچی با این راهکار Θ(n)Θ(n)  است که در مقایسه با روش قبل (مرتبه‌ی نمایی) عملکرد بسیار بهتری دارد. همچنین با توجه به کنار گذاشتن فراخوانی‌های بازگشتی حافظه‌ی کمتری مصرف می‌شود.

    نکته: در صورتی که نیاز به در اختیار داشتن تمام جملات دنباله در یک بازه‌ی مشخص باشد، این روش بهترین راهکار ممکن است و کافی‌ست مقدار f3  در هر تکرار کد فوق در یک مخزن جدا مانند آرایه ذخیره شود.

      

محاسبه با استفاده از روش تقسیم و غلبه

  [بازگشت به فهرست]

تعریف رابطه‌ی فیبوناچی خود به وضوح یک راهکار تقسیم و غلبه برای محاسبه‌ی جملات آن است. اما همانگونه  که بحث شد، استفاده از آن رابطه و فراخوانی‌های بازگشتی مقرون به صرفه نیست.

    یک تعریف بازگشتی دیگر دنباله‌ی فیبوناچی به صورت زیر است:

F2n−1=F2n+F2n−1F2n=(2Fn−1+Fn)FnF2n−1=Fn2+Fn−12F2n=(2Fn−1+Fn)Fn

  

    این رابطه محاسبه‌ی مقدار جمله‌ی nn- ام دنباله را به محاسبه‌ی دو جمله در حدود n2n2  تقسیم می‌کند. چنین رابطه‌ای مرتبه‌ی O(logn)O(logn)  را تداعی می‌کند. اما پیاده‌سازی بازگشتی این رابطه نیز فراخوانی‌های تکراری دارد. به شکل زیر توجه کنید:

      

      

    این راهکار تعداد فراخوانی‌ها برای محاسبه‌ی F7F7  را از 41  فراخوانی حالت بازگشتی عادی به11  فراخوانی کاهش می‌دهد. اما همچنان برخی فراخوانی‌های تکراری وجود دارد که مرتبه‌ی آن را بزرگتر از Θ(n)Θ(n) ( مرتبه‌ی محاسبه به روش برنامه‌نویسی پویا) می‌کند. این فراخوانی‌های تکراری زمانی که عدد جمله بزرگتر می‌شود، تاثیر چشم‌گیری در زمان محاسبه دارند.

    برای رفع این مشکل و بالا بردن کارایی الگوریتم می‌توان جملات تولید شده را در حافظه نگه داشت تا از محاسبه‌ی مجدد آن جلوگیری کرد. در چنین حالتی اگرچه فضای مصرفی الگوریتم بالا می‌رود، اما زمان اجرای آن بهبود قابل توجهی پیدا می‌کند. به عنوان مثال برای محاسبه‌ی جمله‌ی F13941207F13941207  بیش از بیست میلیون فراخوانی تابع بدون ذخیره کردن مقادیر جملات کوچکتر صورت می‌گیرد (بسیار بیشتر از عدد 1394120713941207)  که با ذخیره کردن این مقادیر به کمتر از 130130  فراخوانی کاهش می‌یابد!

    نکته: ممکن است این سوال پیش بیاید که در روش فراخوانی بازگشتی با تعریف اصلی دنباله‌ی فیبوناچی نیز امکان ذخیره کردن  جملات دنباله برای پیشگیری از محاسبه‌ی مجدد آن وجود دارد. ویژگی مهم روش اخیر این است که تنها بخشی از اعداد دنباله تولید و ذخیره می‌شوند. در حالی که برای محاسبه با تعریف یا روش برنامه‌نویسی پویا باید تمامی جملات قبلی دنباله تولید و ذخیره شوند. به عنوان مثال، برای محاسبه‌ی F13941207F13941207  با راهکار اخیر تنها نیاز به ذخیره کردن 6464  جمله است که در مقایسه با تمامی جملات بسیار کمتر است.

      

محاسبه با استفاده از روش ماتریسی

  [بازگشت به فهرست]

دنباله‌ی فیبوناچی را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نشان داد:

(FnFn−1)=(1110)(Fn−1Fn−2)(FnFn−1)=(1110)(Fn−1Fn−2)

  

    با بسط دادن سمت راست رابطه، برابری زیر حاصل می‌شود:

(FnFn−1)=Mn−1(F1F0)=Mn−1(10),M=(1110)(FnFn−1)=Mn−1(F1F0)=Mn−1(10),M=(1110)

    به عبارت دیگر، درایه‌ی سطر اول حاصل‌ضرب توان (n−1)(n−1)- ام ماتریس MM  در ماتریس ستونی یک و صفر همان FnFn  است. بنابراین کافی است عنصر  (Mn−1)11(Mn−1)11 ( عنصر سطر اول و ستون اول) محاسبه شود (چرا؟).

    این رابطه محاسبه‌ی جملات دنباله‌ی فیبوناچی را به محاسبه‌ی توان یک ماتریس بدل می‌کند. توان یک عدد یا یک ماتریس مربعی را می‌توان با استفاده از رابطه‌ی زیر حساب کرد که همواره از مرتبه‌ی O(logn)O(logn)  است (چرا؟):

An=⎧⎩⎨(An2)2(An−12)2×An%2=0n%2=1An={(An2)2n%2=0(An−12)2×An%2=1

    مزیت بزرگ این روش نسبت به روش قبلی عدم نیاز به ذخیره‌سازی مقادیر جملات کوچکتر است و در مقابل هزینه‌ی سنگین‌تر محاسبه‌ی ضرب اعداد را دارد که با توجه به کم بودن آنها (مرتبه‌ی لگاریتمی) قابل چشم‌پوشی است. همینطور تعداد فراخوانی‌های بازگشتی کمتری نسبت به روش قبلی دارد. به عنوان مثال، با این روش تنها 2424  فراخوانی بازگشتی برای محاسبه‌ی توان 1394120613941206- ام ماتریس MM  و در نتیجه محاسبه‌ی F13941207F13941207  نیاز است.

دنباله فیبوناچی[ویرایش]

در واقع فيبوناچي در سال 1202 به مسئله عجيبي علاقمند شد. او مي خواست بداند اگر يک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاري براي زاد و ولد آنها تعريف کند در نهايت نتيجه چگونه خواهد شد. فرضيات اينگونه بود :
- شما يک جفت خرگوش نر و ماده داريد که همين الآن بدنيا آمده اند.
- خرگوشها پس از يک ماه بالغ مي شوند.
- دوران بارداري خرگوشها يک ماه است.
- هنگامي که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما" باردار مي شود.
- در هر بار بارداري خرگوش ماده يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا مي آورد.
- خرگوش ها هرگز نمي ميرند.
حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت؟
فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn).اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوش های متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:
x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.
۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…
فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.
رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:
{\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,\forall n>2:F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}
برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.
جمله عمومی دنباله فیبوناچی[ویرایش]
چند فرمول برای احتساب جملهٔ nام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.
{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\,,}، یکی از این فرمول هاست.{\displaystyle \varphi } (فی) همان عدد طلایی است که برابر با :{\displaystyle {1+{\sqrt {5}}} \over 2} می‌باشد.که برابر 3.5 بر روی 2 میباشد
ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی[ویرایش]
روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم.
نسبت دو عضو متوالی دنباله[ویرایش]
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:
۱۰----۹----۸----۷----۶----۵----۴----۳----۲----۱----شماره جمله
۵۵----۳۴----۲۱----۱۳----۸----۵----۳----۲----۱----۱----مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشارنسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.
معادله خط[ویرایش]
معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطه‌ای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند.
حال به جای m قرار می‌دهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و yy صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله‌شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:...،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)
صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.

[kamranbagheri]

نباله (تصاعد) فیبوناچی (Fibonacci Sequence) یک سری از اعداد است.
۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, …

در هر مرحله عدد بعدی با استفاده از جمع کردن دو عدد ماقبل عدد مورد نظر بدست می آید.

[list]

[*]۲ از جمع دو عدد قبل خود بدست آمده ( ۱ + ۱ )

[*]مشابه آن، ۳ از جمع دو عدد قبل خود بدست آمده ( ۲ + ۱ )

[*]و ۵ بدست می آید از ( ۳ + ۲ )

[*]و به همین ترتیب ادامه می یابد!
[/list] 
مثال: عدد بعدی در دنباله فیبوناچی بالا، برابر است با:
۲۱ + ۳۴ = ۵۵

به همین سادگی!

لیست بلند تری از اعضای دنباله بالا:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶, ۱۷۷۱۱, ۲۸۶۵۷, ۴۶۳۶۸, ۷۵۰۲۵, ۱۲۱۳۹۳, ۱۹۶۴۱۸, ۳۱۷۸۱۱, …
آیا چند عدد دیگر را می توانید بدست بیاورید؟

این دنباله یک مارپیچ تشکیل می دهد

هنگامیکه مربع های با پهناهایی برابر اعداد دنباله تشکیل می دهیم، یک مارپیچ مرتبی بدست می آید:

[img=400x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-spiral-400x249.jpg[/img]
مشاهده می کنید که چگونه مربع ها نزدیک هم قرار گرفته اند؟
برای مثال ۵ و ۸، ۱۳ را و ۸ و ۱۳، ۲۱ را تشکیل می دهد و …

ضابطه

می توان برای دنباله فیبوناچی “ضابطه” نوشت.

ابتدا، اعضا از صفر شماره گذاری می شوند.

[img=600x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture20E-600x53.jpg[/img]

پس عضو ۶ ام به نام X6 (برابر ۸) است.

مثال: عضو هشتم برابر عضو هفتم بعلاوه عضو ششم است:

X8 = X7 + X6

 [img=269x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-rule.jpg[/img]

سپس می توانیم ضابطه را بنویسیم:

Xn = Xn-1 + Xn-2

Xn = عضو n ام
Xn-1 = عضو قبل از n
Xn-2 = دو عضو قبل از n
 
مثال: عضو نهم به این شکل محاسبه می شود:
X9 = X9-1 + X9-2
= X8 + X7
= ۲۱ + ۱۳
= ۳۴

عدد طلایی

 و سورپرایز اینجاست. هرچه اعضای دنباله فیبوناچی بزرگتر می شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی خود رفته رفته به عدد طلایی “φ” نزدیک می شود که حدودا برابر …۱٫۶۱۸۰۳۴ است.

[img=263x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/golden-rectangle-400x304.jpg[/img]

در واقع، هرچه جفت اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، نسبت آنها تقریب عدد طلایی را دقیق تر می کند. بیایید چند تا را امتحان کنیم:

[img=328x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture21E-395x400.jpg[/img]

نکته: اگر دو عدد تصادفی را در ابتدای دنباله داشته باشیم، همانند ۱۹۲ و ۱۶، دوباره با بزرگتر شدن جملات، نسبت به عدد طلایی نزدیک و نزدیکتر می شود.

دنباله مورد نظر:

۱۹۲, ۱۶, ۲۰۸, ۲۲۴, ۴۳۲, ۶۵۶, ۱۰۸۸, ۱۷۴۴, ۲۸۳۲, ۴۵۷۶, ۷۴۰۸, ۱۱۹۸۴, ۱۹۳۹۲, ۳۱۳۷۶, …

[img=326x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture22E-400x398.jpg[/img]

ممکن است کمی وقت ببرد تا اعداد بهتر شوند، اما این نشان می دهد که فقط دنباله پیشفرض فیبوناچی نیست که می تواند این کار را انجام دهد!

 
استفاده از عدد طلایی برای محاسبه اعداد فیبوناچی
و مسئله تعجب آورتر این است که ما هر عدد فیبوناچی را می توانیم به طریق عدد (رابطه) طلایی بدست بیاوریم.


[img=167x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-formula-phi.png[/img]

پاسخ همواره به شکل یک عدد صحیح در می آید، دقیقا برابر با حاصل جمع دو عضو قبلی.

مثلا:

[img=350x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-formula-phi-6.png[/img]

اگر از ماشین حساب کمک بگیرید (هنگام وارد کردن عدد طلایی با ۶ رقم اعشار)، پاسخ ۸٫۰۰۰۰۰۰۳۳ را دریافت می کنید. محاسبه دقیقتر از این، به ۸ نزدیک تر خواهد بود.

خودتان امتحان کنید!

یک الگو

یک الگوی جالبی به نظر می آید:

[img=600x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture23E-600x53.jpg[/img]
[list]

[*]به عدد X3 = 2 نگاه کنید. هر عدد با ۳ فاصله مضربی از ۲ است ( … ,۶۱۰ ,۱۴۴ ,۳۴ ,۸ ,۲)

[*]به عدد X4 = 3 نگاه کنید. هر عدد با ۴ فاصله مضربی از ۳ است ( … ,۱۴۴ ,۲۱ ,۳)

[*]به عدد X5 = 5 نگاه کنید. هر عدد با ۵ فاصله مضربی از ۵ است ( … ,۶۱۰ ,۵۵ ,۵)
[/list]و به این ترتیب ادامه می یابد (هر عدد با n فاصله مضربی از Xn است).
 
اعضای کمتر از صفر
این دنباله برای اعداد کمتر از صفر نیز صادق است، مانند:


[img=600x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture24E-600x60.jpg[/img]
(به خود ثابت کنید که هر عدد با اضافه کردن دو عدد قبلی بدست می آید!)

در واقع دنباله کمتر از صفر همان اعداد در دنباله بیشتر از صفر را دارد، به غیر از این که دنباله کمتر از صفر الگوی – + – + را دنبال می کنند. می توان ضابطه آن را به شکل زیر نوشت:

X-n = (–۱)n+1 Xn

که می گوید عضو ” n– ” برابر با ۱ به توان n+1 بار عضو ” n ” است، و مقدار ۱ به توان n+1 به طور مرتب الگوی … ,۱– ,۱ ,۱– ,۱ را تشکیل می دهد.

تاریخچه

فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده باشد، این دنباله صدها سال پیش در هندوستان شناخته شده بود!

در مورد فیبوناچی

[img=250x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/46ab1714c5db5c1a987f6041d8f16117.jpg[/img]

نام واقعی وی لئوناردو پیزانو بگولو بود، و در سالهای مابین ۱۱۷۰ و ۱۲۵۰ در ایتالیا زندگی می کرده است.

“فیبوناچی” لقب وی بود، به معنی “پسر بوناچی”.

علاوه بر معروف شدن برای دنباله فیبوناچی، او برای گسترش اعداد هندی – عربی (مانند اعداد الان ما ۹ ,۸ ,۷ ,۶ ,۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱ ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) کمک کرد. این اتفاق اروپایی ها و آمریکایی ها را از شر بسیاری از مشکلات نجات داد! باید از لئوناردو متشکر باشند.

روز فیبوناچی

روز فیبوناچی برابر ۲۳ نوامبر (۲ آذر) است. چرا که نشان دهنده ابتدای این دنباله می باشد: ” ۳ , ۲ , ۱ ,۱ “. پس این آذر به به دوستان خود بگویید!

[Bahram Roozkhosh]

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱
این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.


شما يک جفت خرگوش نر و ماده داريد که همين الآن بدنيا آمده اند.

- خرگوشها پس از يک ماه بالغ مي شوند.

- دوران بارداري خرگوشها يک ماه است.

- هنگامي که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما" باردار مي شود.

- در هر بار بارداري خرگوش ماده يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا مي آورد.

- خرگوش ها هرگز نمي ميرند.

حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت؟

فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn).اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوش های متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:

x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.

۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.