فیبوناچی

[kamranbagheri]

نباله (تصاعد) فیبوناچی (Fibonacci Sequence) یک سری از اعداد است.
۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, …

در هر مرحله عدد بعدی با استفاده از جمع کردن دو عدد ماقبل عدد مورد نظر بدست می آید.

[list]

[*]۲ از جمع دو عدد قبل خود بدست آمده ( ۱ + ۱ )

[*]مشابه آن، ۳ از جمع دو عدد قبل خود بدست آمده ( ۲ + ۱ )

[*]و ۵ بدست می آید از ( ۳ + ۲ )

[*]و به همین ترتیب ادامه می یابد!
[/list] 
مثال: عدد بعدی در دنباله فیبوناچی بالا، برابر است با:
۲۱ + ۳۴ = ۵۵

به همین سادگی!

لیست بلند تری از اعضای دنباله بالا:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶, ۱۷۷۱۱, ۲۸۶۵۷, ۴۶۳۶۸, ۷۵۰۲۵, ۱۲۱۳۹۳, ۱۹۶۴۱۸, ۳۱۷۸۱۱, …
آیا چند عدد دیگر را می توانید بدست بیاورید؟

این دنباله یک مارپیچ تشکیل می دهد

هنگامیکه مربع های با پهناهایی برابر اعداد دنباله تشکیل می دهیم، یک مارپیچ مرتبی بدست می آید:

[img=400x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-spiral-400x249.jpg[/img]
مشاهده می کنید که چگونه مربع ها نزدیک هم قرار گرفته اند؟
برای مثال ۵ و ۸، ۱۳ را و ۸ و ۱۳، ۲۱ را تشکیل می دهد و …

ضابطه

می توان برای دنباله فیبوناچی “ضابطه” نوشت.

ابتدا، اعضا از صفر شماره گذاری می شوند.

[img=600x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture20E-600x53.jpg[/img]

پس عضو ۶ ام به نام X6 (برابر ۸) است.

مثال: عضو هشتم برابر عضو هفتم بعلاوه عضو ششم است:

X8 = X7 + X6

 [img=269x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-rule.jpg[/img]

سپس می توانیم ضابطه را بنویسیم:

Xn = Xn-1 + Xn-2

Xn = عضو n ام
Xn-1 = عضو قبل از n
Xn-2 = دو عضو قبل از n
 
مثال: عضو نهم به این شکل محاسبه می شود:
X9 = X9-1 + X9-2
= X8 + X7
= ۲۱ + ۱۳
= ۳۴

عدد طلایی

 و سورپرایز اینجاست. هرچه اعضای دنباله فیبوناچی بزرگتر می شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی خود رفته رفته به عدد طلایی “φ” نزدیک می شود که حدودا برابر …۱٫۶۱۸۰۳۴ است.

[img=263x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/golden-rectangle-400x304.jpg[/img]

در واقع، هرچه جفت اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، نسبت آنها تقریب عدد طلایی را دقیق تر می کند. بیایید چند تا را امتحان کنیم:

[img=328x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture21E-395x400.jpg[/img]

نکته: اگر دو عدد تصادفی را در ابتدای دنباله داشته باشیم، همانند ۱۹۲ و ۱۶، دوباره با بزرگتر شدن جملات، نسبت به عدد طلایی نزدیک و نزدیکتر می شود.

دنباله مورد نظر:

۱۹۲, ۱۶, ۲۰۸, ۲۲۴, ۴۳۲, ۶۵۶, ۱۰۸۸, ۱۷۴۴, ۲۸۳۲, ۴۵۷۶, ۷۴۰۸, ۱۱۹۸۴, ۱۹۳۹۲, ۳۱۳۷۶, …

[img=326x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture22E-400x398.jpg[/img]

ممکن است کمی وقت ببرد تا اعداد بهتر شوند، اما این نشان می دهد که فقط دنباله پیشفرض فیبوناچی نیست که می تواند این کار را انجام دهد!

 
استفاده از عدد طلایی برای محاسبه اعداد فیبوناچی
و مسئله تعجب آورتر این است که ما هر عدد فیبوناچی را می توانیم به طریق عدد (رابطه) طلایی بدست بیاوریم.


[img=167x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-formula-phi.png[/img]

پاسخ همواره به شکل یک عدد صحیح در می آید، دقیقا برابر با حاصل جمع دو عضو قبلی.

مثلا:

[img=350x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/fibonacci-formula-phi-6.png[/img]

اگر از ماشین حساب کمک بگیرید (هنگام وارد کردن عدد طلایی با ۶ رقم اعشار)، پاسخ ۸٫۰۰۰۰۰۰۳۳ را دریافت می کنید. محاسبه دقیقتر از این، به ۸ نزدیک تر خواهد بود.

خودتان امتحان کنید!

یک الگو

یک الگوی جالبی به نظر می آید:

[img=600x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture23E-600x53.jpg[/img]
[list]

[*]به عدد X3 = 2 نگاه کنید. هر عدد با ۳ فاصله مضربی از ۲ است ( … ,۶۱۰ ,۱۴۴ ,۳۴ ,۸ ,۲)

[*]به عدد X4 = 3 نگاه کنید. هر عدد با ۴ فاصله مضربی از ۳ است ( … ,۱۴۴ ,۲۱ ,۳)

[*]به عدد X5 = 5 نگاه کنید. هر عدد با ۵ فاصله مضربی از ۵ است ( … ,۶۱۰ ,۵۵ ,۵)
[/list]و به این ترتیب ادامه می یابد (هر عدد با n فاصله مضربی از Xn است).
 
اعضای کمتر از صفر
این دنباله برای اعداد کمتر از صفر نیز صادق است، مانند:


[img=600x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/Capture24E-600x60.jpg[/img]
(به خود ثابت کنید که هر عدد با اضافه کردن دو عدد قبلی بدست می آید!)

در واقع دنباله کمتر از صفر همان اعداد در دنباله بیشتر از صفر را دارد، به غیر از این که دنباله کمتر از صفر الگوی – + – + را دنبال می کنند. می توان ضابطه آن را به شکل زیر نوشت:

X-n = (–۱)n+1 Xn

که می گوید عضو ” n– ” برابر با ۱ به توان n+1 بار عضو ” n ” است، و مقدار ۱ به توان n+1 به طور مرتب الگوی … ,۱– ,۱ ,۱– ,۱ را تشکیل می دهد.

تاریخچه

فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده باشد، این دنباله صدها سال پیش در هندوستان شناخته شده بود!

در مورد فیبوناچی

[img=250x0]http://faradars.org/wp-content/uploads/2015/07/46ab1714c5db5c1a987f6041d8f16117.jpg[/img]

نام واقعی وی لئوناردو پیزانو بگولو بود، و در سالهای مابین ۱۱۷۰ و ۱۲۵۰ در ایتالیا زندگی می کرده است.

“فیبوناچی” لقب وی بود، به معنی “پسر بوناچی”.

علاوه بر معروف شدن برای دنباله فیبوناچی، او برای گسترش اعداد هندی – عربی (مانند اعداد الان ما ۹ ,۸ ,۷ ,۶ ,۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱ ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) کمک کرد. این اتفاق اروپایی ها و آمریکایی ها را از شر بسیاری از مشکلات نجات داد! باید از لئوناردو متشکر باشند.

روز فیبوناچی

روز فیبوناچی برابر ۲۳ نوامبر (۲ آذر) است. چرا که نشان دهنده ابتدای این دنباله می باشد: ” ۳ , ۲ , ۱ ,۱ “. پس این آذر به به دوستان خود بگویید!