تحلیل گرمایی خانه با معادلات دیفرانسیل 2

[amir315hossein]

بنابراین مقادیر ویژه برابرند با:

λ1,2 = –(k1+2k2+k3+k4)±√D2=–910,–12
حال باید بردار‌های ویژه مرتبط با مقادیر ویژه نیز تعیین گردند. فرض کنید بردار ویژه مرتبط با مقدار λ1=–910
با →V1=(V11,V21)T نشان داده شود. توجه داشته باشید که اندیس T
نشان دهنده ترانهاده ماتریس است. تنها با جایگذاری مقدار ویژه، بردار ویژه، همان‌طور که در ادامه نشان داده شده، بدست خواهد آمد.
(K–λ1I)→V1=→0 ⇒[-k1-k2-k3-λ1k2k2-k2-k4-λ1]⋅[V11V21]=→0 ⇒[15151515][V11V21]=→0⇒15V11+15V21=0⇒V11=–V21⇒→V1=[–11]
به طور مشابه بردار ویژه دوم یا همان →V2=(V12,V22)T
که مرتبط با مقدار ویژه λ2=–12
است نیز به صورت زیر بدست خواهد آمد.
(K–λ2I)→V2=→0⇒⎡⎢ ⎢⎣−151515–15⎤⎥ ⎥⎦[V12V22]=→0⇒−15V12+15V22=0⇒V12=V22⇒→V2=[11]
بنابراین پاسخ عمومی معادله دیفرانسیل همگن بیان شده در بالا را می‌توان به صورت زیر عنوان کرد:
→X0(t)=[x0(t)y0(t)]=C1e–910t[–11]+C2e–12t[11]
در رابطه فوق ضرایب C
، ثابت‌هایی وابسته به شرایط اولیه هستند. حال با استفاده از پاسخ عمومی بدست آمده در بالا می‌توانیم پاسخ عمومی معادله ناهمگن را نیز بدست آوریم. در ابتدا بخش ناهمگن یا F1
را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.
→F1(t)=[k1Tg+k3Te(t)k4Te(t)]=[110Tg+25Te(t)12Te(t)]=110[Tg+4Te(t)5Te(t)]
جهت درک بهتر مطالب عنوان شده در بالا، در ابتدا فرض کنید که دمای زمین برابر با Tg=10∘C
باشد. هم‌چنین فرض کنید که دمای محیط مطابق با رابطه زیر و با زمان تغییر کند.
Te(t)=10+10sin(2π24t)=10+10sin(π12t)
رابطه فوق نشان می‌دهد که این دما از 0
تا 20 درجه سانتی گراد تغییر می‌کند. با این فرض ترم ناهمگنِ F1(t)
مطابق با عبارت زیر بدست می‌آید.
→F1(t)=110⎡⎢⎣10+4(10+10sin(π12t))5(10+10sin(π12t))⎤⎥⎦=⎡⎢⎣5+4sin(π12t)5+5sin(π12t)⎤⎥⎦
پاسخ خصوصی مربوط به ترم ناهمگن به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود.
→X1(t)=[x1(t)y1(t)]=⎡⎢⎣D1+A1sin(π12t)+B1cos(π12t)D2+A2sin(π12t)+B2cos(π12t)⎤⎥⎦
با قرار دادن پاسخ در نظر گرفته شده در معادله ناهمگنِ زیر، به معادله ماتریسی زیر خواهیم رسید.
−→X′1(t)=K→X1(t)+→F1(t)
⇒[x′1(t)y′1(t)]=[–k1–k2–k3k2k2–k2–k4]⋅[x1(t)y1(t)]+[k1Tg+k3Te(t)k4Te(t)]
⇒[x′1(t)y′1(t)]=[–710210210–710][x1(t)y1(t)]+⎡⎢⎣5+4sin(π12t)5+5sin(π12t)⎤⎥⎦
در نتیجه به منظور بدست آوردن ضرایب، دو معادله زیر حاصل می‌شوند.
A1π12cos(π12t)–B1π12sin(π12t)=–710D1–710A1sin(π12t)–710B1cos(π12t)+210D2+210A2sin(π12t)+210B2cos(π12t)+5+4sin(π12t)
,A2π12cos(π12t)−B2π12sin(π12t)=210D1+210A1sin(π12t)+210B1cos(π12t)–710D2–710A2sin(π12t)–710B2cos(π12t)+5+5sin(π12t)
با برابر قرار دادن ضرایب ترم‌های مشابه، مجموعه معادلات زیر بدست خواهند آمد.
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩A1π12=–710B1+210B2–B1π12=–710A1+210A2+40=–710D1+210D2+5A2π12=210B1–710B2–B2π12=210A1−710A2+50=210D1–710D2+5
با حل دستگاه فوق، ضرایب ثابت برابر با اعداد زیر بدست می‌آیند.
A1=6.55,B1=–3.55,A2=7.58,B2=–3.85,D1=D2=10
بنابراین پاسخ خصوصی معادله ناهمگن برابر است با:
→X1(t)=[x1(t)y1(t)] = ⎡⎢⎣10+6.55sin(πt12)−3.55cos(πt12)10+7.58sin(πt12)−3.85cos(πt12)⎤⎥⎦