17-08-2020, 08:42 PM
ضخامت بهینه در عایق حرارتی
این نکته را در نظر داشته باشید که عایق حرارتی قادر نیست انتقال حرارت را به صورت کامل، صفر کند. بلکه فقط آن را کاهش می‌دهد. هرچه ضخامت عایق بیشتر باشد، نرخ انتقال حرارت نیز کُندتر می‌شود ولی در عوض، هزینه هم بالاتر می‌رود. بنابراین، باید به دنبال ضخامت بهینه‌ای باشیم که تعادلی بین هزینه و نرخ انتقال حرارت ایجاد کند. برای تعیین ضخامت بهینه عایق حرارتی نمودار زیر را در نظر بگیرید. هرچه ضخامت عایق بیشتر شود، هزینه عایق هم به صورت خطی افزایش می‌یابد. ولی در طرف مقابل، هزینه‌ای که قبلاً برای اتلاف گرما صرف می‌شد، به صورت نمایی در حال کاهش است.
![[تصویر: optimum-insulation-thickness.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/05/optimum-insulation-thickness.jpg)
مجموع این دو هزینه، با هزینه کل نشان داده شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، هزینه کل ابتدا کاهش می‌یابد تا به مقدار مینیمم برسد و پس از آن، مقدارش زیاد می‌شود. ضخامت متناظر با مینیمم هزینه کل، ضخامت بهینه نامیده می‌شود. اگر بتوانیم معادله‌ای برای هزینه کل بیابیم، با مشتقگیری از آن و حل معادله به دست آمده، ضخامت بهینه به دست می‌آید. ضخامت بهینه عایق حرارتی به عواملی همچون هزینه سوخت وابسته است و هرچه هزینه سوخت بالاتر رود، ضخامت بهینه نیز افزایش خواهد داشت. از این رو با توجه به این نکته که هر عایق حرارتی به مدت چند سال کارایی دارد و در طول این چند سال، هزینه سوخت ممکن است با افزایش مواجه شود، بهتر است در هنگام نصب، ضخامت بیشتری نسبت به ضخامت بهینه در نظر گرفته شود. در غیر این صورت، عایقی که امسال به عنوان ضخامت بهینه نصب شده، ممکن است چند سال بعد، ناکافی باشد.
بحث‌هایی که تا اینجا کردیم، مربوط به زمانی است که نوع ماده عایق تعیین شده و تنها قسمت مجهول مسئله، اقتصادی‌ترین ضخامت برای آن است. ولی در بیشتر موارد، چندین عایق مختلف برای یک کار مناسب است و فرآیند انتخاب از بین آنها می‌تواند گمراه‌کننده باشد. زیرا هریک از آنها ممکن است ضریب هدایت حرارتی، هزینه نصب و عمر متفاوتی داشته باشند. در چنین مواردی، باید مطابق شکل زیر، ابتدا نمودار هزینه سالانه هریک از عایق‌ها برحسب ضخامت رسم شود تا عایقی که حداقل هزینه را دارد، تعیین شود. هر عایق حرارتی که کمترین هزینه سالانه را به همراه دارد، اقتصادی‌ترین گزینه است و ضخامت متناظر با آن باید به عنوان ضخامت بهینه انتخاب شود.
![[تصویر: economical-insulation-thickness.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/05/economical-insulation-thickness.jpg)
اگر ضخامت بهینه‌ای که بدین طریق به دست می‌آید، بین دو ضخامت استاندارد موجود در بازار باشد، بهتر است محافظه‌کار باشیم و ضخامت بیشتر را انتخاب کنیم. ضخامت اضافه، این اطمینان را فراهم می‌کند که در صورت افت کیفیت و تنزل عملکرد عایق به مرور زمان، حاشیه امنیتی ایجاد شده و هنوز هم عملکرد مورد انتظار برآورده شود. در این وضعیت، حتی نگرانی خاصی بابت افزایش تولید گازهای گل‌خانه‌ای نیز وجود نخواهد داشت.
مثال: تأثیر عایق حرارتی در دمای سطح
سؤال: آب داغ با دمای Ti=120∘C
در یک لوله فولادی (k=15W/m.∘C) با قطر درونی 1.6cm و ضخامت 0.2cm جریان دارد. لوله به خوبی عایق شده و دمای سطح بیرونی عایق و محیط، به ترتیب برابر 40∘C و To=25∘C است. ضرایب انتقال حرارت را در داخل و خارج لوله به ترتیب برابر hi=70W/m2.∘C و ho=20W/m2.∘C فرض کنید. ضخامت عایقی از جنس فایبرگلس (k=0.038W/m.∘C
) را تعیین کنید که باید روی لوله نصب شود.
![[تصویر: Thermal-Insulation-Example.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/05/Thermal-Insulation-Example.jpg)
پاسخ: شبکه مقاومت حرارتی برای این مسئله، شامل چهار مقاومت است که به مطابق شکل بالا، به صورت سری به یکدیگر متصل شده‌اند. شعاع داخلی لوله، برابر r1=0.8cm
بوده و شعاع خارجی آن که برابر شعاع داخلی عایق نیز می‌شود، r1=1.0cm است. اگر شعاع بیرونی عایق را با r3 نشان دهیم، سطحی از لوله که در معرض هدایت جابجایی قرار می‌گیرد، برای طول واحد (L=1m
) به شیوه زیر محاسبه می‌شود.
A1=2πr1L=2π(0.008m)(1m)=0.0503m2 A3=2πr3L=2πr3(1m)=6.28r3m2
از این رو، هریک از مقاومت‌های حرارتی به دست می‌آید.
Ri=Rconv,1=1hiA1=1(70W/m2.∘C)(0.0503m2) ⇒ Ri=0.284∘C/W R1=Rpipe=ln(r2/r1)2πk1L=ln(0.01/0.008)2π(15W/m.∘C)(1m) ⇒ R1=0.0024∘C/W R2=Rinsulation=ln(r3/r2)2πk2L=ln(r3/0.01)2π(0.038W/m.∘C)(1m) ⇒ R2=4.188ln(r3/0.01)∘C/W Ro=Rconv,2=1hoA3=1(20W/m2.∘C)(6.28r3m2) ⇒ Ro=1125.6r3∘C/W
می‌دانیم تمام مقاومت‌ها به صورت سری به هم متصل شده‌اند. اکنون، مقاومت کل را محاسبه می‌کنیم.
Rtotal=Ri+R1+R2+Ro Rtotal=[0.284+0.0024+4.188ln(r30.01)+1125.6r3]∘C/W
به این ترتیب، نرخ پایدار افت حرارت از بخار به دست می‌آید.
˙Q=Ti−ToRtotal ⇒˙Q=(120−125)∘C[0.284+0.0024+4.188ln(r30.01)+1125.6r3]∘C/W
همچنین می‌دانیم دمای سطح بیرونی عایق، برابر 40∘C
است. بنابراین نرخ افت حرارت را می‌توانیم به صورت رابطه زیر نیز بنویسیم.
˙Q=T3−ToRo=(40−25)∘C(1125.6r3)∘C/W=1884r3
اگر دو رابطه اخیر را مساوی هم قرار دهیم، مقدار r3=0.0170m
به دست می‌آید. اکنون، ضخامت حداقل برای عایق فایبرگلس محاسبه می‌شود.
t=r3−r2=0.0170−0.0100=0.0070m=0.70cm
همان‌طور که می‌بینیم، نصب عایق حرارتی از جنس فایبرگلس و با ضخامت 0.70cm
می‌تواند دمای سطح بیرونی را در حدود 40∘C حفظ کند.
این نکته را در نظر داشته باشید که عایق حرارتی قادر نیست انتقال حرارت را به صورت کامل، صفر کند. بلکه فقط آن را کاهش می‌دهد. هرچه ضخامت عایق بیشتر باشد، نرخ انتقال حرارت نیز کُندتر می‌شود ولی در عوض، هزینه هم بالاتر می‌رود. بنابراین، باید به دنبال ضخامت بهینه‌ای باشیم که تعادلی بین هزینه و نرخ انتقال حرارت ایجاد کند. برای تعیین ضخامت بهینه عایق حرارتی نمودار زیر را در نظر بگیرید. هرچه ضخامت عایق بیشتر شود، هزینه عایق هم به صورت خطی افزایش می‌یابد. ولی در طرف مقابل، هزینه‌ای که قبلاً برای اتلاف گرما صرف می‌شد، به صورت نمایی در حال کاهش است.
مجموع این دو هزینه، با هزینه کل نشان داده شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، هزینه کل ابتدا کاهش می‌یابد تا به مقدار مینیمم برسد و پس از آن، مقدارش زیاد می‌شود. ضخامت متناظر با مینیمم هزینه کل، ضخامت بهینه نامیده می‌شود. اگر بتوانیم معادله‌ای برای هزینه کل بیابیم، با مشتقگیری از آن و حل معادله به دست آمده، ضخامت بهینه به دست می‌آید. ضخامت بهینه عایق حرارتی به عواملی همچون هزینه سوخت وابسته است و هرچه هزینه سوخت بالاتر رود، ضخامت بهینه نیز افزایش خواهد داشت. از این رو با توجه به این نکته که هر عایق حرارتی به مدت چند سال کارایی دارد و در طول این چند سال، هزینه سوخت ممکن است با افزایش مواجه شود، بهتر است در هنگام نصب، ضخامت بیشتری نسبت به ضخامت بهینه در نظر گرفته شود. در غیر این صورت، عایقی که امسال به عنوان ضخامت بهینه نصب شده، ممکن است چند سال بعد، ناکافی باشد.
بحث‌هایی که تا اینجا کردیم، مربوط به زمانی است که نوع ماده عایق تعیین شده و تنها قسمت مجهول مسئله، اقتصادی‌ترین ضخامت برای آن است. ولی در بیشتر موارد، چندین عایق مختلف برای یک کار مناسب است و فرآیند انتخاب از بین آنها می‌تواند گمراه‌کننده باشد. زیرا هریک از آنها ممکن است ضریب هدایت حرارتی، هزینه نصب و عمر متفاوتی داشته باشند. در چنین مواردی، باید مطابق شکل زیر، ابتدا نمودار هزینه سالانه هریک از عایق‌ها برحسب ضخامت رسم شود تا عایقی که حداقل هزینه را دارد، تعیین شود. هر عایق حرارتی که کمترین هزینه سالانه را به همراه دارد، اقتصادی‌ترین گزینه است و ضخامت متناظر با آن باید به عنوان ضخامت بهینه انتخاب شود.
اگر ضخامت بهینه‌ای که بدین طریق به دست می‌آید، بین دو ضخامت استاندارد موجود در بازار باشد، بهتر است محافظه‌کار باشیم و ضخامت بیشتر را انتخاب کنیم. ضخامت اضافه، این اطمینان را فراهم می‌کند که در صورت افت کیفیت و تنزل عملکرد عایق به مرور زمان، حاشیه امنیتی ایجاد شده و هنوز هم عملکرد مورد انتظار برآورده شود. در این وضعیت، حتی نگرانی خاصی بابت افزایش تولید گازهای گل‌خانه‌ای نیز وجود نخواهد داشت.
مثال: تأثیر عایق حرارتی در دمای سطح
سؤال: آب داغ با دمای Ti=120∘C
در یک لوله فولادی (k=15W/m.∘C) با قطر درونی 1.6cm و ضخامت 0.2cm جریان دارد. لوله به خوبی عایق شده و دمای سطح بیرونی عایق و محیط، به ترتیب برابر 40∘C و To=25∘C است. ضرایب انتقال حرارت را در داخل و خارج لوله به ترتیب برابر hi=70W/m2.∘C و ho=20W/m2.∘C فرض کنید. ضخامت عایقی از جنس فایبرگلس (k=0.038W/m.∘C
) را تعیین کنید که باید روی لوله نصب شود.
پاسخ: شبکه مقاومت حرارتی برای این مسئله، شامل چهار مقاومت است که به مطابق شکل بالا، به صورت سری به یکدیگر متصل شده‌اند. شعاع داخلی لوله، برابر r1=0.8cm
بوده و شعاع خارجی آن که برابر شعاع داخلی عایق نیز می‌شود، r1=1.0cm است. اگر شعاع بیرونی عایق را با r3 نشان دهیم، سطحی از لوله که در معرض هدایت جابجایی قرار می‌گیرد، برای طول واحد (L=1m
) به شیوه زیر محاسبه می‌شود.
A1=2πr1L=2π(0.008m)(1m)=0.0503m2 A3=2πr3L=2πr3(1m)=6.28r3m2
از این رو، هریک از مقاومت‌های حرارتی به دست می‌آید.
Ri=Rconv,1=1hiA1=1(70W/m2.∘C)(0.0503m2) ⇒ Ri=0.284∘C/W R1=Rpipe=ln(r2/r1)2πk1L=ln(0.01/0.008)2π(15W/m.∘C)(1m) ⇒ R1=0.0024∘C/W R2=Rinsulation=ln(r3/r2)2πk2L=ln(r3/0.01)2π(0.038W/m.∘C)(1m) ⇒ R2=4.188ln(r3/0.01)∘C/W Ro=Rconv,2=1hoA3=1(20W/m2.∘C)(6.28r3m2) ⇒ Ro=1125.6r3∘C/W
می‌دانیم تمام مقاومت‌ها به صورت سری به هم متصل شده‌اند. اکنون، مقاومت کل را محاسبه می‌کنیم.
Rtotal=Ri+R1+R2+Ro Rtotal=[0.284+0.0024+4.188ln(r30.01)+1125.6r3]∘C/W
به این ترتیب، نرخ پایدار افت حرارت از بخار به دست می‌آید.
˙Q=Ti−ToRtotal ⇒˙Q=(120−125)∘C[0.284+0.0024+4.188ln(r30.01)+1125.6r3]∘C/W
همچنین می‌دانیم دمای سطح بیرونی عایق، برابر 40∘C
است. بنابراین نرخ افت حرارت را می‌توانیم به صورت رابطه زیر نیز بنویسیم.
˙Q=T3−ToRo=(40−25)∘C(1125.6r3)∘C/W=1884r3
اگر دو رابطه اخیر را مساوی هم قرار دهیم، مقدار r3=0.0170m
به دست می‌آید. اکنون، ضخامت حداقل برای عایق فایبرگلس محاسبه می‌شود.
t=r3−r2=0.0170−0.0100=0.0070m=0.70cm
همان‌طور که می‌بینیم، نصب عایق حرارتی از جنس فایبرگلس و با ضخامت 0.70cm
می‌تواند دمای سطح بیرونی را در حدود 40∘C حفظ کند.