تحلیل گرمایی خانه با معادلات دیفرانسیل 3

[amir315hossein]

به طور مشابه، پاسخ خصوصیِ →X2(t) متناسب با ترم ناهمگنِ →F2(t)
نیز به صورت زیر قابل محاسبه است.
→F2(t)=[f(t)0]
منبع گرماییِ f(t)
وابسته به شکل مسئله است. با این حال در این مطلب به منظور درک بهتر، ساده‌ترین حالت از f را در نظر می‌گیریم. در حقیقت فرض کنید منبع حرارت، مقداری ثابت و برابر با f(t)=f0 باشد. در این صورت پاسخ خصوصیِ X2
نیز باید برابر با ماتریسی ثابت، به شکل زیر در نظر گرفته شود.
→X2=[GH]
پس از جایگذاری پاسخ در سیستمی با بخش ناهمگنِ F2
، ترم‌های H,G
مطابق با روش زیر بدست خواهند آمد.
−→X′2=K→X2+→F2⇒→0=[–710210210–710][GH]+[f00]⇒{–710G+210H+f0=0210G–710H=0⇒{–7G+2H+10f0=02G–7H=0⇒H=49f0⇒G=149f0
در نتیجه پاسخ خصوصیِ X2
برابر با ماتریس ثابت زیر بدست خواهد آمد.
→X2=[x2y2]=[GH]=[149f049f0]
طبق اصلِ برهمنهی، پاسخ خصوصی سیستمی ناهمگن که ترم ناهمگنِ آن برابر با →F1(t)+→F2
باشد را می‌توان برابر با حاصل جمع پاسخ‌های خصوصی مرتبط با F1(t) و F2(t)
در نظر گرفت. نهایتا پاسخ عمومی معادله ناهمگنِ تشکیل شده از دو ترم ناهمگن، برابر است با:
→X(t)=[x(t)y(t)]=→X0(t)+→X1(t)+→X2=C1e–910t[–11]+C2e–12t[11] + ⎡⎢⎣10+6.55sin(πt12)–3.55cos(πt12)10+7.58sin(πt12)–3.85cos(πt12)⎤⎥⎦+[149f049f0]
به منظور یافتن ثابت‌های C1
و C2
، کافی است از شرایط اولیه به صورت زیر استفاده کرد.
{x(0)=–C1+C2+10–3.55+149f0=10y(0)=C1+C2+10–3.85+49f0=5⇒{–C1+C2=3.55–1.56f0C1+C2=–1.55–0.44f0⇒{C1=–2.35+0.56f0C2=1.20–f0
با بدست آمدن ثابت‌ها، پاسخ عمومی نهایی نیز مطابق با رابطه زیر قابل بیان خواهد بود:
→X(t)=[x(t)y(t)]=(–2.35+0.56f0)e–910t[–11]+(1.20–f0)e–12t[11]+⎡⎢⎣10+6.55sin(πt12)−3.55cos(πt12)10+7.58sin(πt12)–3.85cos(πt12)⎤⎥⎦+[1.560.44]f0
دو ترم اول نمایی بوده و با گذشت زمان میرا می‌شوند. این در حالی است که ترم سوم رابطه میان انتقال حرارت بین محیط اطراف و خانه را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که در مسئله حل شده در بالا، تغییرات زمانی دمای محیط اطراف مطابق با رابطه زیر در نظر گرفته شده است.
Te(t)=10+10sin(π12t)
نهایتا ترمِ آخر نیز نشان دهنده نقش منبع انتقال حرارت یا همان f0
است. برای نمونه پاسخ معادله نشان می‌دهد اگر منبع f0 برای ۱ ساعت فعال باشد، در این صورت دمای طبقه هم‌کف به اندازه f0 افزایش می‌یابد. در شکل زیر نمودار مربوط به دمای محیط، طبقه اول و طبقه دوم نشان داده شده‌اند. همان‌طور که این نمودار نیز نشان می‌دهد با افزایش دمای محیط یا همان Te
، افزایش دمای درون خانه نیز با تاخیر اتفاق می‌افتد. توجه داشته باشید که نمودار‌های زیر در حالتی است که هیتر خاموش است.

هنگامی که هیتر یا همان منبع گرما روشن شود، بدیهی است که هوای درون اتاق نیز با گذشت زمان گرم خواهد شد. نمودار زیر دماها را در حالتی نشان می‌دهد که منبع حرارتی با قدرتِ f0=5(deghr)
روشن شده است. همان‌طور که می‌بینید در این حالت دمای هم‌کف بین 10 تا ۲۵ درجه و دمای طبقه اول بین ۵ تا ۲۰.۵ درجه تغییر می‌کنند.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی و مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند: