تحلیل گرمایی خانه با معادلات دیفرانسیل 1

[amir315hossein]

معادلات اولیه
سیستم گرمایی یک خانه، خصوصا از نظر اقتصادی از اهمیت بالایی برخوردار است. علاوه بر قیمت، از نظر محیط زیستی نیز همواره باید تلاش بر این باشد که با کمترین استفاده ممکن از سوخت‌های فسیلی به میزان مشخصی از حرارت و گرما دست یافت. در ابتدا خانه‌ای دو طبقه مطابق با تصویر زیر را در نظر بگیرید.

بدین منظور دمای داخلی را به صورت تابعی از دو متغیر زیر در نظر می‌گیریم.
[list]
[*]x(t)
[/list][list]
[*]: دمای طبقه اول
[/list]
معادله دیفرانسیل اولیه مطابق با قانون سرمایش نیوتن، به صورت زیر نوشته می‌شود.
dTdt=αAC(Te–T)=k(Te–T)
در رابطه بالا Te
دمای محیط اطراف را نشان می‌دهد. دیگر پارامتر‌ها نیز نشان دهنده مقادیر زیر هستند:
[list]
[*]T
[/list][list]
[*]: مساحت سطح
[/list]البته توجه داشته باشید که بهتر آن است که تمامی متغیر‌های فوق را در قالب یک متغیر بیان کنیم. معمولا این متغیر‌ها در قالب هدایت حرارتیِ k
بیان می‌شوند. نهایتا ثابت‌های ki
مطابق با مفاهیم زیر تعریف می‌شوند:
[list]
[*]k1
[/list][list]
[*]: هدایت حرارتی دیوار‌ها و سقف طبقه اول
[/list]با توجه به پارامتر‌های تعریف شده در بالا، سیستم‌ دستگاه معادلات دیفرانسیل که تابعی از دو دمای x(t)
و y(t) است، مطابق با عبارت زیر بدست می‌آید. توجه داشته باشید که Tg
، برابر با دمای زمین در نظر گرفته شده.

⎧⎨⎩dxdt=k1(Tg–x)+k2(y–x)+k3(Te(t)–x)+f(t)dydt=k4(Te(t)–y)+k2(x–y)

⇒⎧⎨⎩dxdt=–(k1+k2+k3)x+k2y+k1Tg+k3Te(t)+f(t)dydt=k2x–(k2+k4)y+k4Te(t)
بدیهی است که در رابطه فوق، f(t)
نشان دهنده منبع حرارتی است که در طبقه همکف قرار گرفته است. این منبع می‌تواند در عمل شوفاژ، شومینه یا هر سیستمی باشد که در هم‌کف گرما تولید می‌کند. مجموعه معادلات فوق را می‌توان به صورت برداری، همان‌طور که در ادامه ذکر شده، بازنویسی کرد.
−→X′(t)=K→X(t)+→F(t)⇒→X(t)=[x(t)y(t)],K = [–k1–k2–k3k2k2–k2–k4]→F(t)=→F1(t)+→F2(t)=[k1Tg+k3Te(t)k4Te(t)]+[f(t)0]
همان‌طور که در بالا نیز نشان داده شده، بخش ناهمگن معادله به صورت حاصل جمع دو بردار بیان شده است. با توجه به خطی بودن سیستم، می‌توان از اصل برهمنهی به منظور بدست آوردن پاسخ معادله استفاده کرد. در ابتدا معادله‌ای همگن را به صورت زیر در نظر بگیرید.

→X′(t)=K→X(t) مقادیر ویژه ماتریس K
به صورت زیر بدست خواهد آمد.
det(K–λI)=0⇒λ2 + (k1+2k2+k3+k4)λ+k1k2+k2k3+k3k4+k1k4+k2k4=0
عبارت فوق معادله درجه 2 محسوب می‌شود که ضرایب آن بزرگ‌تر از صفر هستند. بنابراین طبق  (Routh-Hurwitz)، پاسخ سیستم همگن، به شکلی مجانبی پایدار است.
به منظور حل معادله فوق در اولین قدم باید دلتای معادله مشخصه به صورت زیر محاسبه شود.

همان‌طور که از عبارت فوق نیز بر می‌آید، دلتای معادله مشخصه همواره مثبت است. بنابراین محل تعادل تنها یک «نقطه» (Node) است. با توجه به اثباتِ پایدار بودن سیستم در بالا، می‌توان دریافت که این نقطه نیز همواره پایدار است. مقادیر ویژه λ1,λ2
اعدادی حقیقی بوده و مقدار آن‌ها نیز منفی هستند. در حقیقت مقادیر λi
برابرند با:
λ1,2 = 12{–(k1+2k2+k3+k4)±[(k1+k3–k4)2+4k22]12}
به منظور جلوگیری از پیچیده‌ شدن عبارات، مقادیری فرضی برای ki
ها اختیار می‌کنیم. مقادیر فرضیِ استفاده شده در این مطلب در ادامه ذکر شده‌اند.
k1=110,k2=15,k3=25,k4=12
مقادیر بزر‌گ‌ترِ ki
، عایق کمترِ سطوح را در پی دارند. با فرض مقادیر فوق برای هدایت حرارتی، ضریب D
برابر می‌شود با:
D=(k1+k3–k4)2+4k22=(110+25–12)2+4⋅(15)2=425
[*]: دمای طبقه همکف
[*]y(t)
[*]: دمای اتاق
[*]α
[*]: ضریب انتقال حرارت
[*]C
[*]: ظرفیت حرارتی جسم یا سطحی که حرارت از آن منتقل می‌شود.
[*]A
[*]: هدایت حرارتی کف طبقه هم‌کف
[*]k2
[*]: هدایت حرارتی سقف طبقه هم‌کف
[*]k3
[*]: هدایت حرارتی دیوار‌های طبقه هم‌کف
[*]k4