24-08-2020, 08:46 PM
در اکثر کاربردهای علم مکانیک سیالات مانند آیرودینامیک و توربو ماشینها برای تحلیل میدان سرعتِ جریان سیال از معادلات ناویر-استوکس استفاده می‌شود. معادلات ناویر استوکس اولین بار در سال ۱۸۲۲ توسط «ناویر» (Claude-Louis Navier) بیان و بعدها توسط «استوکس» (George Gabriel Stokes) در حالات خاصی تکمیل شدند. البته روش‌هایی همچون تابع جریان سیال وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان به صورت تحلیلی یک جریان را تحلیل کرد.
ترکیب معادلات ناویر استوکس و معادله بقای جرم، مسئله مکانیک سیالات را خوش‌‌وضع می‌کند؛ یعنی تعداد مجهولات با تعداد معادلات برابر و حل مسئله به صورت تئوری امکان‌پذیر است. به صورت کلی می‌توان بیان کرد که معادلات ناویر استوکس یکی از مهمترین معادلات مکانیک سیالات است که کاربرد زیادی در حل مسائل در علم دینامیک سیالات محاسباتی دارد. در این مطلب، مفاهیم و شیوه استخراج معادلات ناویر-استوکس به صورت قدم به قدم مورد مطالعه قرار می‌گیرند.
بقای مومنتوم خطی
برای توسعه فرم دیفرانسیلی معادلات مومنتوم ابتدا از معادله مومنتوم خطی شروع می‌کنیم که در بخش‌های قبل وبلاگ فرادرس به صورت کامل مورد بررسی قرار گرفت. این معادله را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:
![[تصویر: Equation-of-motion1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion1.jpg)
رابطه ۱
در رابطه بالا عبارت D()/Dt، عملگر مشتق مادی و F، نیروی وارد به جرم سیال را نمایش می‌دهند؛ همچنین P نشان‌دهنده مومنتوم خطی است که فرم انتگرالی آن برای یک سیستم به شکل زیر بیان می‌شود.
![[تصویر: Equation-of-motion2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion2.jpg)
رابطه ۲
در مطلب مومنتوم خطی وبلاگ فرادرس، فرم انتگرالی معادله بالا برای یک حجم کنترل، به شکل زیر نشان داده شد.
![[تصویر: Equation-of-motion3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion3.jpg)
رابطه ۳
این معادله را می‌توان در یک حجم کنترل با اندازه محدود و برای حل بسیاری از مسائل مکانیک سیالات مورد استفاده قرار داد. برای به دست آوردن فرم دیفرانسیلی معادله مومنتوم خطی می‌توان روابط بالا را برای یک سیستم با جرم δm
بیان کرد. در این صورت رابطه ۳ به شکل زیر بازنویسی می‌شود.
![[تصویر: Equation-of-motion4.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion4.jpg)
رابطه ۴
در معادله بالا δF
، نیروی وارد بر جرم δm را نشان می‌دهد. در این روش مقدار δm
را می‌توان به عنوان یک ثابت در نظر گرفت و رابطه ۴ را به فرم زیر بازنویسی کرد.
![[تصویر: Equation-of-motion5.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion5.jpg)
رابطه 5
نکته دیگر این است که مشتق مادی سرعت (DV/Dt)، شتاب «المان» (Element) مورد نظر را نشان می‌دهد که با a نمایش داده می‌شود. بنابراین رابطه ۵ را به می‌توان به شکل زیر نشان داد.
![[تصویر: Equation-of-motion6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion6.jpg)
رابطه۶
در واقع رابطه بالا به سادگی قانون دوم نیوتن را برای جرم δm
نشان می‌دهد. در واقع این معادله و معادله انتگرالی که در حجم کنترل نوشته می‌شود (رابطه ۳) نتایج یکسانی را در حل مسائل مکانیک سیالات تولید می‌کنند. یکی از مهمترین نکات در استفاده از معادله ۶، مشخص کردن δF
است. بنابراین در ادامه مطلب به بررسی روش‌های مختلف اعمال نیرو به جزئی دیفرانسیلی از یک سیستم پرداخته می‌شود. جز کوچک در این سیستم‌ها را اصطلاحا المان سیستم نیز می‌نامند.
توصیف نیروهای وارد بر جز دیفرانسیلی سیستم
برای استفاده از قانون دوم نیوتن برای یک سیستم به شکلی که در بالا نشان داده شد، به صورت کلی دو نوع مختلف نیرو را می‌توان در نظر گرفت. بخش اول نیروهای سطحی هستند که بر سطح یک المان دیفرانسیلی اعمال می‌شوند و بخش دوم نیروهای حجمی هستند که به صورت توزیعی از نیروها بر این المان وارد می‌شوند.
نیروهای حجمی را با نماد δFb
نشان می‌دهند. همچنین یکی از نیروهای حجمی که به جز کوچک سیال وارد می‌شود، وزن آن جز است که می‌توان رابطه آن را به شکل زیر نمایش داد.
![[تصویر: Equation-of-motion7.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion7.jpg)
رابطه 7
در این رابطه g بردار شتاب گرانش است. به منظور استفاده از یک بردار، در ابتدا بایستی آن را به اجزای سازنده‌اش تجزیه کرد. بنابراین شکل تجزیه‌شده رابطه ۷ به صورت زیر قابل بازنویسی است.
![[تصویر: Equation-of-motion8.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion8.jpg)
در سه رابطه بالا، gy
، gx و gz
به ترتیب اجزای بردار شتاب گرانش در راستای x، y و z را نشان می‌دهند.
همانطور که بیان شد نیروهای دیگری نیز به نام نیروهای سطحی به یک جز دیفرانسیلی سیستم (المان سیستم) وارد می‌شوند. بر هم‌کنش این المانِ سیستم با محیط اطراف، نیروهای سطحی را تولید می‌کند.
نیروی سطحی وارد بر یک المان سیال با مساحت سطح δA
که در مکان دلخواهی از سیال قرار دارد، با علامت δFs و مطابق با شکل زیر نشان داده می‌شود.
![[تصویر: Equation-of-motion9.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/08/Equation-of-motion9.jpg)
ترکیب معادلات ناویر استوکس و معادله بقای جرم، مسئله مکانیک سیالات را خوش‌‌وضع می‌کند؛ یعنی تعداد مجهولات با تعداد معادلات برابر و حل مسئله به صورت تئوری امکان‌پذیر است. به صورت کلی می‌توان بیان کرد که معادلات ناویر استوکس یکی از مهمترین معادلات مکانیک سیالات است که کاربرد زیادی در حل مسائل در علم دینامیک سیالات محاسباتی دارد. در این مطلب، مفاهیم و شیوه استخراج معادلات ناویر-استوکس به صورت قدم به قدم مورد مطالعه قرار می‌گیرند.
بقای مومنتوم خطی
برای توسعه فرم دیفرانسیلی معادلات مومنتوم ابتدا از معادله مومنتوم خطی شروع می‌کنیم که در بخش‌های قبل وبلاگ فرادرس به صورت کامل مورد بررسی قرار گرفت. این معادله را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:
رابطه ۱در رابطه بالا عبارت D()/Dt، عملگر مشتق مادی و F، نیروی وارد به جرم سیال را نمایش می‌دهند؛ همچنین P نشان‌دهنده مومنتوم خطی است که فرم انتگرالی آن برای یک سیستم به شکل زیر بیان می‌شود.
رابطه ۲در مطلب مومنتوم خطی وبلاگ فرادرس، فرم انتگرالی معادله بالا برای یک حجم کنترل، به شکل زیر نشان داده شد.
رابطه ۳این معادله را می‌توان در یک حجم کنترل با اندازه محدود و برای حل بسیاری از مسائل مکانیک سیالات مورد استفاده قرار داد. برای به دست آوردن فرم دیفرانسیلی معادله مومنتوم خطی می‌توان روابط بالا را برای یک سیستم با جرم δm
بیان کرد. در این صورت رابطه ۳ به شکل زیر بازنویسی می‌شود.
رابطه ۴در معادله بالا δF
، نیروی وارد بر جرم δm را نشان می‌دهد. در این روش مقدار δm
را می‌توان به عنوان یک ثابت در نظر گرفت و رابطه ۴ را به فرم زیر بازنویسی کرد.
رابطه 5نکته دیگر این است که مشتق مادی سرعت (DV/Dt)، شتاب «المان» (Element) مورد نظر را نشان می‌دهد که با a نمایش داده می‌شود. بنابراین رابطه ۵ را به می‌توان به شکل زیر نشان داد.
رابطه۶در واقع رابطه بالا به سادگی قانون دوم نیوتن را برای جرم δm
نشان می‌دهد. در واقع این معادله و معادله انتگرالی که در حجم کنترل نوشته می‌شود (رابطه ۳) نتایج یکسانی را در حل مسائل مکانیک سیالات تولید می‌کنند. یکی از مهمترین نکات در استفاده از معادله ۶، مشخص کردن δF
است. بنابراین در ادامه مطلب به بررسی روش‌های مختلف اعمال نیرو به جزئی دیفرانسیلی از یک سیستم پرداخته می‌شود. جز کوچک در این سیستم‌ها را اصطلاحا المان سیستم نیز می‌نامند.
توصیف نیروهای وارد بر جز دیفرانسیلی سیستم
برای استفاده از قانون دوم نیوتن برای یک سیستم به شکلی که در بالا نشان داده شد، به صورت کلی دو نوع مختلف نیرو را می‌توان در نظر گرفت. بخش اول نیروهای سطحی هستند که بر سطح یک المان دیفرانسیلی اعمال می‌شوند و بخش دوم نیروهای حجمی هستند که به صورت توزیعی از نیروها بر این المان وارد می‌شوند.
نیروهای حجمی را با نماد δFb
نشان می‌دهند. همچنین یکی از نیروهای حجمی که به جز کوچک سیال وارد می‌شود، وزن آن جز است که می‌توان رابطه آن را به شکل زیر نمایش داد.
رابطه 7در این رابطه g بردار شتاب گرانش است. به منظور استفاده از یک بردار، در ابتدا بایستی آن را به اجزای سازنده‌اش تجزیه کرد. بنابراین شکل تجزیه‌شده رابطه ۷ به صورت زیر قابل بازنویسی است.
در سه رابطه بالا، gy
، gx و gz
به ترتیب اجزای بردار شتاب گرانش در راستای x، y و z را نشان می‌دهند.
همانطور که بیان شد نیروهای دیگری نیز به نام نیروهای سطحی به یک جز دیفرانسیلی سیستم (المان سیستم) وارد می‌شوند. بر هم‌کنش این المانِ سیستم با محیط اطراف، نیروهای سطحی را تولید می‌کند.
نیروی سطحی وارد بر یک المان سیال با مساحت سطح δA
که در مکان دلخواهی از سیال قرار دارد، با علامت δFs و مطابق با شکل زیر نشان داده می‌شود.