معادله برنولی و کاربردهای آن

[فاطمه رمضانی]

[list=1]
[*]خانه

[*]مقالات آموزشی

[*]سیالات و هیدرولیک
[/list]
معادله برنولی و کاربردهای آن

اصل یا معادله برنولی یک ابزار بسیار توانا در مکانیک سیالات است. نام این معادله از نام ریاضی‌دان سوئیسی دانیل برنولی گرفته شده، اگر چه پیش از او لئونارد اویلر و دیگران نیز آن را می‌دانستند. برای استفاده صحیح از آن باید همیشه فرضیات اساسی به کار برده شده برای توسعه آن را به خاطر داشت. فرضیات لازم برای کابرد معادله برنولی عبارتند از: اثر لزجت سیال قابل چشم پوشی است، جریان دائمی است، جریان غیر قابل تراکم است و معادله برنولی قابل کاربرد در امتداد یک خط جریان است.
در واقعیت هیچ یک از فرضیات فوق دقیقا صحت ندارد، اما برای آسانی تحلیل مسائل به آنها استناذ می شود. همچنین معادله برنولی برای جریان های دو بعدی و سه بعدی قابل استفاده است مشروط بر آنکه در امتداد یک خط جریان به کار برده شود.
تفسیر فیزیکی معادله برنولی
معادله برنولی را می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

هنگامی که یک ذره سیال حرکت می کند، نیروهای وزن و فشار بر روی آن کار انجام می دهند. می دانیم کار انجام شده توسط یک نیرو برابر حاصل ضرب مسافت طی شده توسط ذره ضرب در مولفه نیرو در جهت حرکت ذره می باشد (F.d=کار). در واقع، یک روش دیگر برای به دست آوردن معادله برنولی کاربرد اصول اول و دوم ترمودینامیک (معادلات انرژی و آنتروپی) به جای استفاده از قانون دوم نیوتون است.

معادله برنولی بیان ریاضی اصل کار- انرژی است که بر طبق آن کار انجام شده روی یک ذره توسط تمام نیروهای وارد بر آن برابر تغییر انرژی جنبشی ذره می باشد.

کاربردهای معادله برنولی

یکی از کاربردهای مهم معادله برنولی تعیین دبی جریان در یک لوله یا کانال می باشد. برای کاربرد معادله برنولی در این بخش، فرضیات بنیادی آن در نظر گرفته می شوند. یکی از روش های مهم برای اندازه گیری دبی جریان در لوله یا کانال، قرار دادن نوعی مانع یا سازه در داخل آنها می باشد. برای اندازه گیری جریان از اختلاف فشار بین سرعت کم (فشار زیاد) و سرعت زیاد (فشار کم) استفاده می شود.

سه نوع وسیله اندازه گیری جریان (روزنه، شیپوره و وانتوری) بر اساس اصول مشابه یعنی افزایش سرعت و کاهش فشار در مقطع تنگ شده کار می کنند. تفاوت بین این وسایل مربوط به هزینه، دقت و پیروی آنها از فرضیات معادله برنولی می باشد. برای مثال روزنه از یک صفحه سوراخ دار جهت تنگ کردن مقطع استفاده می کند، بنابراین کارکردن با آن ساده بوده و به راحتی می توان قطر مجرا را تغییر داد، ولی نقص آن این است که افت فشار در آن بیشتر از دو وسیله دیگر (شیپوره و وانتوری) می باشد.

محدودیت های کاربرد معادله برنولی

در این قسمت برخی از فرضیات معادله برنولی بررسی شده و نتایج کاربرد نادرست این معادله مطالعه می شوند.

 اثر تراکم پذیری سیال

یکی از فرضیات اصلی معادله برنولی غیر قابل تراکم بودن سیال است. اگر چه این فرض برای اغلب مایعات درست است، اما در برخی شرایط می تواند خطاهای قابل توجهی برای گازها ایجاد کند.

اثر لزجت سیال

یکی دیگر از فرضیات اساسی معادله برنولی چشم پوشی از اثرات لزجت است. در واقع معادله برنولی انتگرال قانون دوم نیوتن در امتداد یک خط جریان است. چون در اثر چشم پوشی از اثرات لزجت، سیستم سیال به صورت یک سیستم پایدار در نظر گرفته می شود. انتگرال گیری از قانون دوم نیوتن امکان پذیر می گردد و انرژی کل یک سیستم پایدار ثابت باقی می ماند. اگر اثرات لزجت قابل ملاحظه باشند، سیستم سیال ناپایدار بوده و تلفات انرژی رخ خواهد داد.

اثر دائمی بودن جریان

برخی جریان های غیر دائمی ممکن است به صورت جریان شبه دائمی مطالعه شده و تقریبا با کاربرد معادله برنولی برای جریان دائمی حل شوند. در چنین شرایطی، غیر دائمی بودن جریان خیلی قابل ملاحظه نیست و نتایج جریان دائمی می توانند در هر لحظه از زمان به کار برده شوند.

اثر جریان چرخشی

محدودیت دیگر معادله برنولی کاربرد آن در امتداد یک خط جریان است. در صورت کاربرد این معادله برای دو نقطه روی دو خط جریان مختلف، خطاهای قابل توجهی در محاسبات می تواند رخ دهد که این موضوع به شرایط جریان مورد مطالعه بستگی دارد. به طور کلی مقدار بار کل (مجموع انرژی های جنبشی، فشاری و پتانسیل) برای دو خط جریان یکسان نیست، به عبارت دیگر بار کل در معادله برنولی از یک خط جریان به خط جریان دیگر تغییر می کند، هر چند در برخی شرایط بار کل در تمام میدان جریان یکسان فرض می شود.

مثال هایی از اصل برنولی

قطاری که به سرعت حرکت می‌ کند، می‌ تواند شخصی را که زیادی نزدیک آن ایستاده را به خود جذب کند که اگر سبب تصادف شود، بسیار خطرناک است؛ بنابراین جذب یک دوچرخه سوار توسط یک ماشین سنگین که به سرعت از نزدیک آن می‌ گذرد نیز دور از ذهن نیست! تند آبها و گرداب ها نیز به همین دلیل، شناگران را به میان خود می‌ کشند و حتی غرق می‌ کنند. بخشی از نیروی بالابری هواپیما نیز با اصل برنولی کار می‌ کند طراحی بال به گونه‌ ای است که تندی هوا در بالای بال بیشتر از پایین بال است چون مسیر طولانی تری را طی می‌ کند پس فشار هوای بالای بال کمتر از فشار هوا در پایین بال است و نیروی خالصی به نام نیروی بالابری در هواپیما ایجاد خواهد شد.