روش تفاضل محدود 4 - نسخه‌ی قابل چاپ +- تالار گفتگوی کیش تک/ kishtech forum (http://forum.kishtech.ir) +-- انجمن: پردیس فناوری کیش (http://forum.kishtech.ir/forumdisplay.php?fid=1) +--- انجمن: مهندسی مکانیک (http://forum.kishtech.ir/forumdisplay.php?fid=205) +--- موضوع: روش تفاضل محدود 4 (/showthread.php?tid=44284)

روش تفاضل محدود 4 - amir315hossein - 24-08-2020 کته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که مجموعه نقاطی که در تفاضل محدود دو بعدی و سه بعدی در نظر گرفته می‌شود شامل نقاطی است که در اطراف Ui,j قرار دارند. تا به اینجا، تقریب تفاضل محدود مورد بررسی قرار گرفت و شیوه محاسبه آن برای مشتق مرتبه اول و مراتب بالاتر نشان داده شد. همچنین شیوه نمایش و محاسبه مشتق در دو بعد نیز مورد بررسی قرار گرفت. در ادامه به بررسی «روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) پرداخته می‌شود. برای استفاده از این روش نیاز به داشتن دانش کافی در زمینه قوانین و روابط مختلف حاکم بر سیالات در علم دینامیک سیالات داریم. این قوانین و روابط از جمله پرکاربردترین قوانین موجود در مکانیک سیالات هستند و قوانین پیوستگی و بقای جرم[/url]،مومنتوم خطی [url=https://blog.faradars.org/linear-momentum-equation/] وزاویه ای  و معادلات ناویر-استوکس را در بر می‌گیرند. روش تفاضل محدود معادله یک بعدی «نفوذ و جابه‌جایی» (Convection-Diffusion) را در نظر بگیرید. این معادله را می‌توان به شکل زیر بیان کرد. رابطه ۲۱ در ادامه این معادله را با استفاده از تقریب تفاضل محدود، گسسته‌سازی می‌کنیم. برای این منظور از عملگر تفاضل محدود مرکزی استفاده می‌شود و در نهایت رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید. رابطه 22 رابطه فوق یک معادله دیفرانسیل معمولی (توجه کنید که علامت ∂ به d تبدیل شده) برای Ui را نشان می‌دهد و شامل مقادیر U در نقاط Ui−1 ، Ui و Ui+1 می‌شود. توجه شود که معادله دیفرانسیل معمولی، معادله‌ای است که در آن، متغیر مسئله تنها به یک پارامتر مستقل، وابسته است و علامت مشتق با d نشان داده می‌شود. همچنین معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادله‌ای گفته می‌شود که متغیر آن به چند پارامتر مستقل، وابسته باشد و علامت مشتق با نماد ∂ (مشتق جزئی) نشان داده می‌شود. در ادامه مقادیر پارامتر U در تمامی نقاط شبکه را با استفاده از یک بردار به شکل زیر نمایش می‌دهیم. رابطه 23 در نهایت این معادلات به صورت مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی در می‌آیند که می‌توان آن‌ها را به شکل خلاصه شده زیر نمایش داد. رابطه 24 در این رابطه، پارامتر b، شرایط مرزی را نمایش می‌دهد. شرایط مرزی در واقع پارامترهای معلوم مسئله در مرزها را مشخص می‌کنند. برای مثال ممکن است سرعت جریان سیال در ورودی یک لوله معلوم باشد یا دمای دیواره لوله مقدار مشخص و ثابتی داشته باشد. در این شرایط، سرعت ورودی و دمای دیواره به عنوان دو شرط مرزی در نظر گرفته می‌شوند. در رابطه بالا، ماتریس A را می‌توان به شکل زیر نمایش داد. رابطه 25 توجه کنید که سطر i ام ماتریس بالا، ضرایب مربوط به معادله دیفرانسیل معمولی پارامتر U در نقطه i را نشان می‌دهند. نکته مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که به غیر از حالاتی که در آن‌ها شرایط مرزی حضور دارد، مقدار Ai,j ضریب αj موجود در تقریب تفاضل محدود را نمایش می‌دهد. به عنوان مثال برای یک تقریب تفاضل مرکزی، ضرایب به صورت زیر در می‌آیند. رابطه 26 رابطه 27 رابطه 28