ژیروسکوپ(بخش آخر) - نسخه‌ی قابل چاپ +- تالار گفتگوی کیش تک/ kishtech forum (http://forum.kishtech.ir) +-- انجمن: پردیس فناوری کیش (http://forum.kishtech.ir/forumdisplay.php?fid=1) +--- انجمن: مهندسی مکانیک (http://forum.kishtech.ir/forumdisplay.php?fid=205) +--- موضوع: ژیروسکوپ(بخش آخر) (/showthread.php?tid=43902)

ژیروسکوپ(بخش آخر) - amir315hossein - 14-08-2020 تحلیل میله در این بخش گشتاورهای وارد شده به میله را حول نقطه P بررسی خواهیم کرد. نمودار جسم آزاد میله به صورت زیر رسم شده است. دستگاه مختصات xyz طوری رسم شده که بتواند با میله حرکت کند. مبدأ این دستگاه در نقطه P قرار دارد. همچنین محورهای این دستگاه نیز در راستای جهت‌های اصلی اینرسی میله قرار گرفته‌اند. نقطه P به عنوان یک لولای بدون اصطکاک در نظر گرفته شده است. در نتیجه هیچ گشتاوری روی میله ایجاد نخواهد کرد. به منظور محاسبه برآیند گشتاور در نقطه P، معادله حرکت اویلر را در جهت x می‌نویسیم. ∑MPx=IPxax−(IPy−IPz)ωyωz سرعت و شتاب زاویه‌ای میله در دستگاه xyz را می‌توان به صورت زیر نوشت. ωx=0,ωy=ωpcosθ,ωz=ωpsinθ ax=ay=az=0 در رابطه بالا، IPx ،IPy و IPz، به ترتیب ممان‌های اینرسی میله را حول نقطه P در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهند. ممان‌های اینرسی میله به صورت زیر قابل محاسبه هستند. در رابطه‌های زیر mr جرم میله را نشان می‌دهد. IPx=IPz=13mrL2 IPy=0 در نتیجه معادله حرکت اویلر در جهت x به صورت زیر نوشته می‌شود. −mrgL2sinθ−FGZLsinθ+FGYLcosθ−Mx=13mrL2ωp2cosθsinθ (رابطه ۴) با ادغام رابطه‌های ۱ تا ۴ به نتیجه زیر میرسیم. ωp2cosθ(13mrL2−14mwr2+mwL2)=12mwr2ωsωp−mrgL2−mwgL حال می‌توان این رابطه را برای هریک از پارامترهای ωp ،θ و ωs حل کرد و هریک را برحسب دو پارامتر دیگر به دست آورد. پایداری ژیروسکوپ با توجه به مباحث مطرح شده درتکانه زاویه ای[/url]، تغییرات بردار تکانه زاویه‌ای جسم صلب در بازه زمانی ti تا tf به صورت زیر محاسبه می‌شود. پارامتر Hf بردار تکانه زاویه‌ای را در لحظه نهایی tf نشان می‌دهد. بردار تکانه زاویه‌ای در لحظه اولیه ti نیز برابر با Hi است. بردار M هم بیانگر گشتاورهای خارجی وارد به جسم صلب است. ∑∫tfti−→Mdt=→Hf−→Hi با اینکه رابطه بالا برای جسم صلب تعریف شده است، می‌توان آن را برای هر سیستمی از ذرات نیز به کار برد. برای اثبات این موضوع می‌توانید به کتاب‌های کلاسیک در حوزه مهندسی مکانیک مراجعه کنید. این رابطه در دو مورد به کار می‌رود. یکی هنگامی که مبدأ محورهای محلی xyz در مرکز جرم G مربوط به جسم صلب قرار گرفته باشد. در حالت دوم، این مبدأ می‌تواند در نقطه O که روی جسم صلب ثابت است (در صورت وجود) قرار داده شود. در ادامه‌ این بخش، از حالت اول استفاده شده است. بنابراین، گشتاورها، مقادیر اینرسی و تکانه زاویه‌ای نسبت به نقطه G سنجیده خواهند شد. برای نشان دادن پایداری ژیروسکوپ، جسم صلبی را مانند یک دیسک در نظر بگیرید که تقارن محوری دارد. این جسم در لحظه مورد نظر، با سرعت زاویه‌ای ω در حال دوران است. در شکل بالا، تغییر بردار تکانه زاویه‌ای بین زمان‌های ti و tf با ΔH نشان داده شده است. با توجه به رابطه قبلی، این مقدار برابر با ضربه خارجی است. با ثابت بودن مقدار ΔH ، کاهش زاویه φ موجب افزایش مقدار Hi می‌شود. یعنی هرچه مقدار تکانه زاویه‌ای اولیه بیشتر باشد، مقدار زاویه φ برای تغییر ΔH به مقدار ثابت، کوچکتر خواهد بود. در نتیجه، اندازه بردار تکانه زاویه‌ای H با اندازه بردار سرعت زاویه‌ای ω متناسب است. به عبارت دیگر هرچه سرعت چرخش جسم به دور خود بیشتر شود، زاویه φ کوچکتر می‌شود. اگر هیچ گشتاور خارجی به جسم وارد نشود، Hi=Hf و زاویه φ صفر خواهد بود. در این حالت حرکت جسم، بدون گشتاور است. بنابراین، اندازه و جهت بردار تکانه زاویه‌ای ثابت می‌ماند و تکانه زاویه‌ای پایستار است. در جسم صلبی که دارای حرکت بدون گشتاور است، محور حرکت تقدیمی، منطبق بر بردار تکانه زاویه‌ای دیده می‌شود. محور حرکت تقدیمی، جهت‌گیری جسم را تعیین می‌کند. در نتیجه، هرگونه تغییر کوچک در جهت بردار تکانه زاویه‌ای موجب تغییر کوچکی در جهت‌گیری جسم می‌شود. یعنی پس از اینکه ضربه خارجی اعمال شود، بار دیگر حرکت جسم، بدون گشتاور می‌شود. به این ترتیب، هرگاه به جسمی که دارای تقارن محوری است و با سرعت زیاد (بدون گشتاور) به دور خود می‌چرخد، ضربه خارجی وارد شود، جسم قادر است محور حرکت تقدیمی را با تغییری جزئی حفظ کند. کاربرد اثر ژیروسکوپی در دنیای واقعی درک ماهیت عملکرد ژیروسکوپ این موضوع را مشخص می‌کند که چرا برای جهت‌یابی، از یک دیسک دوار (که از طریق یک موتور تغذیه می‌شود) درون یک قاب فلزی (جیمبال)  استفاده می‌شود. دیسک دوار درون قاب فلزی نصب می‌شود تا هیچ‌گونه گشتاور خارجی به آن وارد نشود. بنابراین، جهت‌گیری آن، به جز یک مقدار ناچیز، تغییری نخواهد داشت. همین عامل موجب می‌شود ژیروسکوپ در سیستم‌های ناوبری کشتی‌ها و قایق‌ها به وفور به کار رود. در این حالت، حتی اگر مسیر حرکت کشتی هم عوض شود، جهت‌گیری ژیروسکوپ بدون تغییر می‌ماند. شکل زیر یک نمونه سیستم ژیروسکوپ-جیمبال را نشان می‌دهد. پایداری ژیروسکوپ را می‌توان درحرکت پرتابه نیز بررسی کرد. به عنوان یک مثال آشنا، توپ استفاده شده در فوتبال آمریکایی را در نظر بگیرید که هم تقارن محوری دارد و هم پس از پرتاب، به دور خودش می‌چرخد. فرض کنید این توپ به درستی پرتاب شود. در این حالت مطابق شکل زیر، راستای محور طولی آن در حین پرواز تغییر نمی‌کند. چرخش توپ به دورِ خود در پاسخ به نیرو های آیرودینامیکی، اثر ژیروسکوپی ایجاد می‌کند. در این مثال، با ترکیبی از شتاب ژیروسکوپی، نیروهای آیرودینامیکی ناشی ازدرگ(drag) و لیفت (نیروی برا) روبرو هستیم. در اینجا به دنبال تحلیل این مسأله پیچیده نیستیم و این مثال فقط به عنوان کاربردی از اثر ژیروسکوپ در دنیای واقعی ارائه شد. در ادامه، موضوع دیگری را بررسی می‌کنیم. جسم صلبی را در نظر بگیرید که حرکت بدون گشتاور دارد. در این حالت از دید ناظری که در دستگاه مختصات لخت قرار دارد، این‌گونه به نظر می‌رسد که محور حرکت تقدیمی بر بردار تکانه زاویه‌ای منطبق است. در حالی که می‌دانیم این محور ثابت بوده و اندازه و جهت آن تغییر نمی‌کند. تحلیل ریاضی اسپین خالص در ژیروسکوپ بار دیگر به محاسبات ریاضی برمی‌گردیم. شکل زیر را در نظر بگیرید که محورهای مختصات محلی xyz مطابق آن تعریف شده است. می‌خواهیم رابطه‌ای برای ارتباط بین زاویه θ و بردارهای HG و ωs پیدا کنیم. با استفاده ازضرب داخلی[url=https://blog.faradars.org/dot-product-%D8%B6%D8%B1%D8%A8-%D8%AF%D8%A7%D8%AE%D9%84%DB%8C/]، رابطه زیر به راحتی به دست می‌آید. cosθ=→HG.^J|→HG| در این رابطه، HG ، تکانه زاویه‌ای حول مرکز G است. با یک بار مشتق‌گیری از این رابطه برحسب زمان، نتیجه زیر حاصل می‌شود. dθdt=−→HGsinθ|→HG|(d^jdt) با جاگذاری عبارت (d^jdt)=→ω×^j در رابطه بالا و استفاده از مفهوم ضرب خارجی ، رابطه قبل را می‌توان به این صورت نوشت. dθdt=−(Iz−Ix)ωzωxsinθ|→HG| براساس رابطه به دست آمده، هنگامی که مقادیر Ix و Iz با یکدیگر برابر باشند (هر دو برابر با Iw)، dθdt صفر خواهد بود. مانند اتفاقی که برای جسم چرخان در فضا رخ می‌دهد. حال فرض کنید زاویه α صفر باشد. در این حالت، محور حرکت تقدیمی روی بردار تکانه زاویه‌ای HG قرار می‌گیرد. در نتیجه ωx=dθdt=0 و θ مقداری ثابت خواهد داشت. در ادامه می‌خواهیم با استفاده از نتایج بالا، ωs و ωp را برحسب یکدیگر محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه θ همیشه ثابت است، تکانه زاویه‌ای را می‌توان به صورت زیر و در دستگاه مختصات xyz  بیان کرد. →HG=(|→HG|cosθ)^j+(|→HG|sinθ)^k (رابطه 5) از طرفی، روابط زیر را هم از قبل در اختیار داریم. →HG=Ixωx^i+Iyωy^j+Izωz^k →HG=Iwωx^i+IGyωy^j+Iwωz^k (رابطه ۶) حال با مقایسه رابطه‌های ۵ و ۶ و با کمک روابط هندسی، معادلات زیر به دست می‌آیند. ωx=dθdt=0 ωy=ωpcosθ+ωs ωz=ωpsinθ حال با حل این سه معادله می‌توانیم ωs و ωp را برحسب یکدیگر بیابیم. ωs=ωpcosθIw−IGyIGy اطلاعات تکمیلی در مورد ژیروسکوپ تا اینجا دانستیم اگر جسمی با سرعت زاویه‌ای ωs حول محور تقارن خود در حال چرخش باشد، محور چرخش و بردار تکانه زاویه‌ای آن در یک راستا خواهند بود. حال ممکن است این جسم به طور موقت در معرض یک گشتاور خارجی قرار بگیرد. در این وضعیت، حرکت تقدیمی به چرخش اسپین اضافه می‌شود. از اینجا به بعد، محور حرکت تقدیمی بر بردار جدید تکانه زاویه‌ای منطبق می‌شود. برای محاسبه حرکت جدید جسم، باید از معادلات حرکت اویلر استفاده کرد. در حرکت بدون گشتاور، تنها نیروی خارجی وارد به جسم، نیروی وزن است که به مرکز جرم وارد می‌شود. وقتی صحبت از حرکت بدون گشتاور به میان می‌آید، به این دلیل است که هیچ گشتاوری وجود ندارد که قادر باشد جسم را حول مرکز جرمش (G) دوران دهد. در نتیجه، تکانه زاویه‌ای حول مرکز جرم تغییر نخواهد کرد. برای درک بهتر موضوع، می‌توان تصور کرد مرکز چرخش جسم در مرکز جرم آن قرار دارد. همان‌طور که دیدید ماهیت ژیروسکوپ، موضوعی پیچیده و نیازمند توجهی عمیق است. امیدواریم با مطالعه این مقاله، به درک مناسبی از عملکرد این اثر فیزیکی دست یافته باشید و این مطلب، انگیزه‌ای برای یادگیری بیشتر مفاهیم ژیروسکوپ در شما ایجاد کرده باشد.