ژیروسکوپ1 - نسخه‌ی قابل چاپ +- تالار گفتگوی کیش تک/ kishtech forum (http://forum.kishtech.ir) +-- انجمن: پردیس فناوری کیش (http://forum.kishtech.ir/forumdisplay.php?fid=1) +--- انجمن: مهندسی مکانیک (http://forum.kishtech.ir/forumdisplay.php?fid=205) +--- موضوع: ژیروسکوپ1 (/showthread.php?tid=43901)

ژیروسکوپ1 - amir315hossein - 14-08-2020 شاید برای شما هم این سوال پیش آمده باشد که چرا دوچرخه در حالت سکون، به زمین می‌افتد؛ ولی دوچرخه در حال حرکت می‌تواند تعادل خودش را حفظ کند؟ فیزیک ژیروسکوپ (Gyroscope) یکی از مفاهیم دشوار فیزیک است که درک آن، به دقت و توجه زیادی نیاز دارد. اولین بار «لئون فوکو» (Leon Foucault)، فیزیکدان فرانسوی در سال 1852 برای نشان دادن حرکت زمین، از این ابزار استفاده کرد. هنگامی که ژیروسکوپ شروع به دوران می‌کند، اولین سوالی که به ذهن می‌رسد این است که چرا به دلیل نیروی جاذبه، روی زمین نمی‌افتد. در این مقاله خواهیم دید که بدون نیاز به استفاده از ریاضیات پیچیده، می‌توان این مفهوم را به خوبی درک کرد. در اینجا، حرکت ژیروسکوپ نشان داده شده است. شماتیک یک ژیروسکوپ را می‌توان به صورت زیر رسم کرد. در این شکل، سرعت زاویه‌ای ثابت دیسک با ωs و بر حسب رادیان بر ثانیه نشان داده شده است. ωp نشان دهنده سرعت حرکت تقدیمی (Precession) بوده و با واحد رادیان بر ثانیه اندازه گرفته می‌شود. طول میله با L و شعاع دیسک با r نشان داده شده‌اند. زاویه θ بیانگر زاویه بین میله و خط عمود به زمین است و مقدار ثابتی دارد. هنگامی که دیسک با سرعت زاویه‌ای ωs دوران می‌کند، سرعت حرکت تقدیمی ژیروسکوپ حول لولایی که روی زمین قرار دارد، برابر با ωp است (زاویه θ در این حرکت ثابت می‌ماند). حال می‌خواهیم به پرسشی که در ابتدای مقاله مطرح شد، پاسخ دهیم. به دلیل دوران مرکب و با سرعت‌های زاویه‌ای ωs و ωp، گشتاوری به دیسک دوار وارد می‌شود. این گشتاور با حاصل ضرب خارجی →ωs×−→ωp متناسب است. برای تعیین جهت این گشتاور ازقانون دست راست استفاده می‌کنیم. در نتیجه گشتاوری در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت به سیستم وارد می‌شود. از طرفی،نیروی گرانش[url=https://blog.faradars.org/%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B4/][/url] باعث می‌شود گشتاوری در جهت حرکت عقربه‌های ساعت به دیسک وارد شود. تقابل این دو گشتاور که خلاف جهت هم هستند، از افتادن ژیروسکوپ جلوگیری می‌کند. اکنون می‌توانیم معادلات حرکت را برای ژیروسکوپ بنویسیم. تحلیل ریاضی حرکت ژیروسکوپ محورهای مختصات XYZ را به صورت شکل زیر برای ژیروسکوپ رسم می‌کنیم. محورهای مختصات به زمین ثابت شده‌اند. در شکل بالا، g نماد شتاب گرانش است. نقطه G مرکز جرم دیسک را نشان می‌دهد. محل تکیه‌گاه نیز با P نمایش داده می‌شود. مبدأ مختصات XYZ، نقطه P است. بردارهای J ،I و K بردارهای یکه هستند و به ترتیب جهت مثبت محورهای Y ،X و Z را نشان می‌دهند. در این حالت، سرعت زاویه‌ای دیسک نسبت به زمین به صورت زیر به دست می‌آید. −→ωw=(ωssinθ)^J+(ωscosθ+ωp)^K با مشتق‌گیری از رابطه بالا نسبت به زمان، شتاب زاویه‌ای دیسک به شکل زیر محاسبه می‌شود. −→aw=d[(ωssinθ)^J]dt+d[(ωscosθ+ωp)^K]dt همان‌طور که پیش‌تر نیز بدان اشاره کردیم، ωs ثابت است. در نتیجه مشتق آن صفر می‌شود و برای محاسبه رابطه بالا، فقط باید از بردارهای یکه مشتق گرفت. به این ترتیب، رابطه شتاب به شکل زیر ساده می‌شود. →aw=−ωsωpsinθ^I می‌دانیم سرعت زاویه‌ای میله با کمک رابطه زیر محاسبه می‌شود. →ωr=ωp^K از آنجایی که سرعت زاویه‌ای میله ثابت است و جهت آن هم تغییر نمی‌کند، شتاب زاویه‌ای آن صفر خواهد بود. تحلیل دیسک در این بخش می‌خواهیم نیروها و گشتاورهای وارد به دیسک را تحلیل کنیم. نمودار جسم آزاد دیسک در شکل زیر نشان داده شده است. در این شکل میله را از دیسک جدا کرده‌ایم. به این نکته توجه کنید که دستگاه مختصات محلی xyz، روی دیسک ثابت شده است و به همراه آن حرکت می‌کند. مبدأ این دستگاه مختصات، نقطه G است. دقت کنید که محور x موازی محور X قرار دارد. در شکل بالا، گشتاور در نقطه G و در راستای محور x را با Mx نشان داده‌ایم. گشتاورهای My و Mz نیز به طریقی مشابه تعریف شده‌اند. همچنین FGX نیرو را در نقطه G و هم‌راستا با محور X نشان می‌دهد. نیروهای FGY و FGZ نیز به ترتیب با محورهای Y و Z در یک راستا قرار دارند. قانون دوم نیوتن را برای دیسک می‌نویسیم. ∑FX=FGX=mwaGX ∑FY=FGY=mwaGY ∑FZ=FGZ−mwg=mwaGZ در رابطه‌های بالا، جرم دیسک با mw نمایش داده شده است. aGX شتاب را در نقطه G و در راستای X نشان می‌دهد. شتاب‌های aGY و aGZ نیز به طوری مشابه و به ترتیب در جهت‌های Y و Z تعریف شده‌اند. از آنجایی که نقطه G روی یک مسیر  افقی به شکل دایره و با سرعت ثابت حرکت می‌کند، شتاب مماسی برابر صفر است. FGY=mwaGY در نتیجه کافیست فقط رابطه‌های دوم و سوم را در نظر بگیریم. حرکت نقطه G روی مسیر دایره‌ای، شتاب مرکزگرا ایجاد می‌کند. این شتاب مرکزگرا به سمت مرکز دوران است. بنابراین رابطه‌های شتاب و نیرو به صورت زیر نوشته می‌شوند. aGY=−ωp2(Lsinθ) FGY=−mwωp2(Lsinθ) [b](رابطه ۱)[/b] از آنجایی که نقطه G با سرعت ثابت روی یک دایره افقی حرکت می‌کند، شتاب در راستای Z برابر با صفر است. FGZ−mwg=mwaGZ=0 FGZ=−mwg [b](رابطه ۲)[/b] حال، معادلات حرکت اویلر را در جهت x برای جسم صلب به کار می‌بریم. این معادلات در دو جهت دیگر، مساوی صفر هستند. همان‌طور که می‌دانیم دستگاه مختصات xyz در جهت‌های اصلی اینرسی دیسک قرار گرفته‌اند. ∑MGx=IGxαx−(IGy−IGz)ωyωz توجه کنید که نیروهای FGX ،FGY و FGZ حول نقطه G هیچ گشتاوری ایجاد نمی‌کنند. زیرا هر سه نیرو از نقطه G عبور می‌کنند و طول بازوی گشتاور در آنها صفر است. در رابطه بالا، IGx ،IGy و IGz ، به ترتیب ممان‌های اینرسی را حول نقطه G در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهد. مقدار ممان‌های اینرسی دیسک به دلیل تقارن، به صورت زیر محاسبه می‌شوند. IGx=IGz=14mwr2 IGy=12mwr2 در نتیجه معادله حرکت اویلر در جهت x به دست خواهد آمد. Mx=−14mwr2ωsωpsinθ−14mwr2(ωs+ωpcosθ)ωpsinθ [b](رابطه ۳) [/b]