14-08-2020, 02:04 PM
در واقعیت تمامی سیستم‌هایی که در اطراف خود می‌بینیم متشکل از بخش‌هایی هستند که از چندین درجه آزادی تشکیل شده‌اند. بنابراین بررسی این نوع از سیستم‌ها در واقعیت بسیار کاربردی خواهد بود. در نتیجه در ابتدا به معرفی مفهوم درجه آزادی و سپس به بررسی سیستم‌های دو درجه آزادی می‌پردازیم.
معادلات مربوط به یک سیستم دو درجه آزادی را می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن و با استفاده ازمعادله اویلر-لاگرانژ بدست آورد. در این مطلب تنها با استفاده از قانون دوم نیوتن معادلات حرکت را خواهیم یافت؛ اما در حالت کلی معادله اویلر لاگرانژ راه کوتاه‌تری را به ما نشان خواهد داد.
درجه آزادی، عبارت است از تعداد مختصات مستقلی که برای توصیف یک سیستم نیاز است. به عنوان مثال، شکل زیر را در نظر بگیرید.
![[تصویر: mass-spring-damper-1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/mass-spring-damper-1.jpg)
این سیستم از درجه 1 است، چراکه تنها با تعریف مختصاتی تحت عنوان x، می‌توان آن را توصیف کرد. حال سیستم شکل زیر را در نظر بگیرید.
![[تصویر: 2-degree-of-freedom.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2-degree-of-freedom.jpg)
اگر در این سیستم فقط یک مختصات x تعریف کنیم، نمی‌توان با استفاده از آن موقعیت هر دو جرم 1 و 2 را نشان داد. تنها راه توصیف چنین سیستمی، تعریف دو مختصات x1 و x2 برای هر کدام از جرم‌ها است. در حالت کلی می‌توان درجه آزادی یک سیستم را با استفاده از روش زیر محاسبه کرد:
تعداد جرم‌های مستقل موجود در سیستم × تعداد حرکات ممکن برای هر جرم = درجه آزادی سیستم
توجه داشته باشید که منظور از جرم در عبارت بالا، بخش‌های مستقل از هم است. مثلا اگر دو جرم 1 و 2 به یکدیگر جوش داده شده باشند، یک جرم محسوب می‌شوند چرا که حرکت آن‌ها با هم صورت می‌گیرد.
به عنوان مثال در مورد تعداد درجات آزادی سیستم زیر فکر کنید.
![[تصویر: 2-degree-of-freedom-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2-degree-of-freedom-2.jpg)
در این سیستم اگر جرم نوسان کننده در یک زاویه ثابت نگه داشته شود، همچنان می‌تواند به جرم ارتعاش کننده درون پیستون متصل بماند و سیستم کماکان توانایی ارتعاش کردن را خواهد داشت. بنابراین درجه آزادی این سیستم 2 است.
مبحث ارتعاشات چند درجه آزادی شاخه‌ای بسیار مهم و کاربردی از دینامیک است؛ چرا که امکان مدل‌سازی ارتعاش هر ماده الاستیکی را فراهم می‌کند. چنین سیستم‌هایی به‌صورت چندیدن جرم و فنر در نظر گرفته می‌شوند که به‌شکلی پیوسته به یکدیگر متصل شده و در ترکیبی از مود‌های نوسانی خود، ارتعاش می‌کنند. انیمیشن زیر تیری را نشان می‌دهد که در یکی از مود‌های ارتعاشی خود نوسان می‌کند. تنش‌های ایجاد شده در این تیر در هر لحظه با استفاده از نرم‌افزار «انسیس» مدل‌سازی شده است.
![[تصویر: beam-mode-shapes.gif]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/beam-mode-shapes.gif)
سیستم‌های با درجه آزادی 2
در یک سیستم با درجه آزادی n، همین تعداد معادله نیز وجود خواهد داشت. بنابراین در یک سیستم دو درجه آزادی، دو معادله به منظور بررسی ارتعاشی مجموعه نیاز است (برای هر جرم، یک معادله). این معادلات با یکدیگر در ارتباط هستند، به نحوی که تمامی مختصات تعریف شده در همه معادلات ظاهر خواهند شد. اگر پاسخی هارمونیک برای سیستم در نظر بگیریم، به دو معادله می‌رسیم که دو فرکانس طبیعی به ما می‌دهند.
همانطور که در بخش‌های قبل نیز بیان شد اگر به سیستم، تحریک اولیه‌ای وارد شود، مجموعه در یکی از فرکانس‌های طبیعی خود نوسان خواهد کرد. در این حالت دامنه‌های نوسان (دو مختصات تعریف شده)، با یکدیگر در ارتباط خواهند بود. به حالت‌های مختلف این نوسانات، «مود‌های طبیعی نوسان» (Natural Mode of Vibration)، «مود نرمال» (Normal Mode) یا «مود اصلی» (Principle mode) گفته می‌شود.
بنابراین یک سیستم دو درجه آزادی از دو مود نوسانی تشکیل شده که به دو فرکانس طبیعیش مرتبط است. از همین رو اگر به یک سیستم دو درجه آزادی، تحریکی اعمال کنیم، پاسخ آن حاصل جمع مود‌های نرمالش است؛ اما اگر این سیستم با استفاده از تحریک هارمونیک خارجی (نوسان اجباری) مرتعش شود، فرکانس ارتعاش مجموعه همان فرکانس تحریک خواهد بود.
معادلات حرکت برای سیستم دو درجه آزادی در حالت ارتعاش اجباری
در این قسمت قصد داریم تا در مورد سیستم جرم-فنر-دمپر دو درجه آزادی صحبت کنیم که تحت یک نیروی هارمونیک به ارتعاش در آمده است. همانطور که در بالا نیز بیان شد، برای توصیف یک سیستم چند درجه آزادی، در ابتدا بایستی مختصات توصیف کننده سیستم را تعریف کنیم. بدین منظور شکل – یا همان سیستم – زیر را در نظر بگیرید.
![[تصویر: vibration-system.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/vibration-system.jpg)
شکل بالا سیستمی دو درجه آزادی به همراه نیروهای وارد شده به آن را نشان می‌دهد. در این سیستم از دو مختصات (x1(t و (x2(t به منظور توصیف مکان جرم‌های m1 و m2 استفاده شده. بنابراین تنها با نشان دادن مکان این دو جرم، ارتعاش سیستم مفروض قابل بیان خواهد بود.
به منظور بررسی کلی سیستم، فرض کنید دو نیروی متغیر F1 و F2 نیز به این دو جرم وارد می‌شوند. حال با پیاده‌سازی قانون دوم نیوتون برای جرم‌های m1 و m2، می‌توان نوشت:
![[تصویر: 4-7.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/4-7.jpg)
همان‌گونه که بیان شد هر دو مختصات تعریف شده در هر دو معادله ظاهر شده‌اند. بنابراین این دو رابطه، معادلات دیفرانسیلی از مرتبه دوم هستند که با یکدیگر کوپل شده‌اند. در نتیجه می‌توان انتظار داشت که حرکت هر کدام از جرم‌ها، روی دیگری تاثیرگذار باشد. توجه داشته باشید که در تحلیل سیستم‌های چند درجه آزادی تلاش می‌شود تا معادلات به‌شکل ماتریسی نوشته و نهایتا با استفاده از رایانه حل شوند؛ بنابراین معادلات مربوط به این سیستم را به‌صورت زیر بیان میکنیم.
![[تصویر: 5-6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/5-6.jpg)
در این معادله، [c]، [m] و [k] به‌ترتیب ماتریس جرم، میرایی و سختی هستند. (x(t و (F(t نیز بردارهای جابجایی و نیرو را نشان می‌دهند. این ماتریس‌ها و بردارها به‌شکل زیر نوشته می‌شوند.
![[تصویر: 6-7.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/6-7.jpg)
![[تصویر: 7-6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/7-6.jpg)
مطابق با فرمول‌های بالا ماتریس‌های [c]، [m] و [k] همگی 2×2 هستند؛ هم‌چنین عناصر تشکیل دهنده آن‌ها از جرم‌ها، ضرایب میرایی و ضرایب سختی تشکیل شده‌اند. توجه داشته باشید که تمامی ماتریس‌های ذکر شده، متقارن هستند. بنابراین می‌توان گفت:
![[تصویر: 8-6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/8-6.jpg)
البته می‌توانید با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ نیز به همین معادلات دست یابید.
معادلات مربوط به یک سیستم دو درجه آزادی را می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن و با استفاده ازمعادله اویلر-لاگرانژ بدست آورد. در این مطلب تنها با استفاده از قانون دوم نیوتن معادلات حرکت را خواهیم یافت؛ اما در حالت کلی معادله اویلر لاگرانژ راه کوتاه‌تری را به ما نشان خواهد داد.
درجه آزادی، عبارت است از تعداد مختصات مستقلی که برای توصیف یک سیستم نیاز است. به عنوان مثال، شکل زیر را در نظر بگیرید.
این سیستم از درجه 1 است، چراکه تنها با تعریف مختصاتی تحت عنوان x، می‌توان آن را توصیف کرد. حال سیستم شکل زیر را در نظر بگیرید.
اگر در این سیستم فقط یک مختصات x تعریف کنیم، نمی‌توان با استفاده از آن موقعیت هر دو جرم 1 و 2 را نشان داد. تنها راه توصیف چنین سیستمی، تعریف دو مختصات x1 و x2 برای هر کدام از جرم‌ها است. در حالت کلی می‌توان درجه آزادی یک سیستم را با استفاده از روش زیر محاسبه کرد:
تعداد جرم‌های مستقل موجود در سیستم × تعداد حرکات ممکن برای هر جرم = درجه آزادی سیستم
توجه داشته باشید که منظور از جرم در عبارت بالا، بخش‌های مستقل از هم است. مثلا اگر دو جرم 1 و 2 به یکدیگر جوش داده شده باشند، یک جرم محسوب می‌شوند چرا که حرکت آن‌ها با هم صورت می‌گیرد.
به عنوان مثال در مورد تعداد درجات آزادی سیستم زیر فکر کنید.
در این سیستم اگر جرم نوسان کننده در یک زاویه ثابت نگه داشته شود، همچنان می‌تواند به جرم ارتعاش کننده درون پیستون متصل بماند و سیستم کماکان توانایی ارتعاش کردن را خواهد داشت. بنابراین درجه آزادی این سیستم 2 است.
مبحث ارتعاشات چند درجه آزادی شاخه‌ای بسیار مهم و کاربردی از دینامیک است؛ چرا که امکان مدل‌سازی ارتعاش هر ماده الاستیکی را فراهم می‌کند. چنین سیستم‌هایی به‌صورت چندیدن جرم و فنر در نظر گرفته می‌شوند که به‌شکلی پیوسته به یکدیگر متصل شده و در ترکیبی از مود‌های نوسانی خود، ارتعاش می‌کنند. انیمیشن زیر تیری را نشان می‌دهد که در یکی از مود‌های ارتعاشی خود نوسان می‌کند. تنش‌های ایجاد شده در این تیر در هر لحظه با استفاده از نرم‌افزار «انسیس» مدل‌سازی شده است.
سیستم‌های با درجه آزادی 2
در یک سیستم با درجه آزادی n، همین تعداد معادله نیز وجود خواهد داشت. بنابراین در یک سیستم دو درجه آزادی، دو معادله به منظور بررسی ارتعاشی مجموعه نیاز است (برای هر جرم، یک معادله). این معادلات با یکدیگر در ارتباط هستند، به نحوی که تمامی مختصات تعریف شده در همه معادلات ظاهر خواهند شد. اگر پاسخی هارمونیک برای سیستم در نظر بگیریم، به دو معادله می‌رسیم که دو فرکانس طبیعی به ما می‌دهند.
همانطور که در بخش‌های قبل نیز بیان شد اگر به سیستم، تحریک اولیه‌ای وارد شود، مجموعه در یکی از فرکانس‌های طبیعی خود نوسان خواهد کرد. در این حالت دامنه‌های نوسان (دو مختصات تعریف شده)، با یکدیگر در ارتباط خواهند بود. به حالت‌های مختلف این نوسانات، «مود‌های طبیعی نوسان» (Natural Mode of Vibration)، «مود نرمال» (Normal Mode) یا «مود اصلی» (Principle mode) گفته می‌شود.
بنابراین یک سیستم دو درجه آزادی از دو مود نوسانی تشکیل شده که به دو فرکانس طبیعیش مرتبط است. از همین رو اگر به یک سیستم دو درجه آزادی، تحریکی اعمال کنیم، پاسخ آن حاصل جمع مود‌های نرمالش است؛ اما اگر این سیستم با استفاده از تحریک هارمونیک خارجی (نوسان اجباری) مرتعش شود، فرکانس ارتعاش مجموعه همان فرکانس تحریک خواهد بود.
معادلات حرکت برای سیستم دو درجه آزادی در حالت ارتعاش اجباری
در این قسمت قصد داریم تا در مورد سیستم جرم-فنر-دمپر دو درجه آزادی صحبت کنیم که تحت یک نیروی هارمونیک به ارتعاش در آمده است. همانطور که در بالا نیز بیان شد، برای توصیف یک سیستم چند درجه آزادی، در ابتدا بایستی مختصات توصیف کننده سیستم را تعریف کنیم. بدین منظور شکل – یا همان سیستم – زیر را در نظر بگیرید.
شکل بالا سیستمی دو درجه آزادی به همراه نیروهای وارد شده به آن را نشان می‌دهد. در این سیستم از دو مختصات (x1(t و (x2(t به منظور توصیف مکان جرم‌های m1 و m2 استفاده شده. بنابراین تنها با نشان دادن مکان این دو جرم، ارتعاش سیستم مفروض قابل بیان خواهد بود.
به منظور بررسی کلی سیستم، فرض کنید دو نیروی متغیر F1 و F2 نیز به این دو جرم وارد می‌شوند. حال با پیاده‌سازی قانون دوم نیوتون برای جرم‌های m1 و m2، می‌توان نوشت:
همان‌گونه که بیان شد هر دو مختصات تعریف شده در هر دو معادله ظاهر شده‌اند. بنابراین این دو رابطه، معادلات دیفرانسیلی از مرتبه دوم هستند که با یکدیگر کوپل شده‌اند. در نتیجه می‌توان انتظار داشت که حرکت هر کدام از جرم‌ها، روی دیگری تاثیرگذار باشد. توجه داشته باشید که در تحلیل سیستم‌های چند درجه آزادی تلاش می‌شود تا معادلات به‌شکل ماتریسی نوشته و نهایتا با استفاده از رایانه حل شوند؛ بنابراین معادلات مربوط به این سیستم را به‌صورت زیر بیان میکنیم.
در این معادله، [c]، [m] و [k] به‌ترتیب ماتریس جرم، میرایی و سختی هستند. (x(t و (F(t نیز بردارهای جابجایی و نیرو را نشان می‌دهند. این ماتریس‌ها و بردارها به‌شکل زیر نوشته می‌شوند.
مطابق با فرمول‌های بالا ماتریس‌های [c]، [m] و [k] همگی 2×2 هستند؛ هم‌چنین عناصر تشکیل دهنده آن‌ها از جرم‌ها، ضرایب میرایی و ضرایب سختی تشکیل شده‌اند. توجه داشته باشید که تمامی ماتریس‌های ذکر شده، متقارن هستند. بنابراین می‌توان گفت:
البته می‌توانید با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ نیز به همین معادلات دست یابید.