14-08-2020, 02:01 PM
ارتعاشات آزاد سیستم های نامیرا در حرکت پیچشی
اگر جسم صلبی حول یک محور مرجع دوران کند، حرکت آن به صورت ارتعاشات پیچشی خواهد بود. در این مورد، جابجایی جسم برحسب یک مختصات زاویه‌ای اندازه‌گیری می‌شود. در ارتعاشات آزاد پیچشی، ممان بازگرداننده، از پیچش یک عضو الاستیک یا به دلیل یک ممان خنثی نشده‌ای ناشی می‌شود که یک نیرو یا کوپل، آن را به وجود آورده است. شکل زیر، دیسکی را نشان می‌دهد که ممان اینرسی قطبی جرم آن برابر J0
بوده و در انتهای یک شفت صلب مدوّر قرار دارد. انتهای دیگر شفت، ثابت شده است. فرض کنید دوران زاویه‌ای دیسک، حول محور شفت را با زاویه θ
تعریف کنیم و این زاویه، نشان دهنده زاویه پیچش شفت هم باشد. همان‌طور که در مقاله تحلیل میله های درحال پیچش دیده‌ایم، در پیچش شفت‌های دایره‌ای، رابطه زیر برقرار است.
![[تصویر: Torsional-Vibration-of-a-Disc.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/04/Torsional-Vibration-of-a-Disc.jpg)
Mt=GI0lθ
در این رابطه، Mt
گشتاوری است که منجر به پیچشی به اندازه θ می‌شود. مدول برشی و طول شفت به ترتیب با G و l نشان داده شده‌اند. I0
نیز ممان اینرسی قطبی مربوط به سطح مقطع شفت است که با کمک رابطه زیر به دست می‌آید.
I0=πd432
قطر شفت با d
نشان داده شده است. اگر دیسک به اندازه θ نسبت به موقعیت تعادلش جابجا شود، گشتاور بازدارنده‌ای با بزرگی Mt
ایجاد می‌شود. بنابراین، به عنوان یک فنر پیچشی عمل می‌کند که ثابت این فنر پیچشی به صورت زیر محاسبه می‌شود.
kt=Mtθ=GI0l=πGd432l
معادله حرکت زاویه‌ای دیسک، حول محورش را می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن نتیجه گرفت. با در نظر گرفتن نمودار جسم آزاد رسم شده دیسک در شکل قبل و با اعمال قانون دوم نیوتن، معادله حرکت قابل استخراج است.
J0¨θ+ktθ=0
(رابطه ۱۲)
همان‌طور که می‌بینید این رابطه مشابه رابطه ۳ در ابتدای این مقاله است. اگر ممان اینرسی قطبی J0
، جابجایی زاویه‌ای θ و ثابت فنر پیچشی kt را به ترتیب با جرم m، جابجایی x و ثابت فنر خطی k
جایگزین کنیم، به همان رابطه خواهیم رسید. از این رو، فرکانس طبیعی سیستم پیچشی در ارتعاشات آزاد با کمک رابطه زیر به دست می‌آید.
ωn=(ktJ0)1/2
(رابطه ۱۳)
دوره و فرکانس ارتعاشات آزاد برحسب دور در ثانیه به قرار زیر است.
τn=2π(J0kt)1/2 fn=12π(ktJ0)1/2
در مورد این سیستم باید چند نکته را مد نظر قرار داد. ممان اینرسی قطبی مربوط به جرم یک دیسک را می‌توان با استفاده از رابطه J0=ρhπD432=WD48g
به دست آورد. در رابطه بالا، ρ چگالی، h ضخامت و D قطر دیسک را نشان می‌دهد و وزن آن برابر W
[list]
[*]است.
[*]به سیستم اینرسی–فنر پیچشی نشان داده شده در شکل قبل، آونگ پیچشی گفته می‌شود. یکی از مهمترین کاربردهای آونگ پیچشی در ساعت‌های مکانیکی است. در این ساعت‌ها، چرخ‌دنده و شیطانک (Pawl)، نوسان یک آونگ پیچشی کوچک را به حرکت عقربه‌ها تبدیل می‌کند.
[/list]برای به دست آوردن پاسخ عمومی رابطه ۱۲، مانند رابطه ۳ عمل می‌کنیم.
θ(t)=A1cosωnt+A2sinωnt
با کمک رابطه ۱۳، ضرایب A1
و A2
را با کمک شرایط اولیه به دست می‌آوریم.
θ(t=0)=θ0 ˙θ(t=0)=dθdt(t=0)=˙θ0 ⇒ A1=θ0 ⇒ A2=˙θ0ωn
مثال ۴ — فرکانس طبیعی آونگ مرکب در ارتعاشات آزاد
سؤال: هر جسم صلبی که در نقطه‌ای غیر از مرکز جرمش لولا شده باشد، به دلیل نیروی گرانشی خودش، حول آن نقطه نوسان خواهد کرد. چنین سیستمی به عنوان آونگ مرکب شناخته می‌شود. به شکل زیر توجه کنید. فرکانس طبیعی این سیستم چقدر است؟
![[تصویر: Compound-Pendulum.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2019/04/Compound-Pendulum.jpg)
پاسخ: فرض کنید نقطه مورد نظر و مرکز جرم این آونگ مرکب، به ترتیب O
و G باشد. ارتعاشات آزاد جسم صلب نشان داده شده در شکل بالا، به صورت نوسان در صفحه xy است و از مختصات θ، برای توصیف این حرکت استفاده می‌شود. فاصله بین دو نقطه O و G را با d نشان داده‌ایم و ممان اینرسی جسم صلب حول محور z (عمود به هر دو محور x و y)، برابر J0 است. برای جابجایی به اندازه θ، گشتاور بازدارنده ناشی از وزن جسم صلب (W) برابر Wdsinθ
بوده و معادله حرکت به صورت زیر است.
J0¨θ+Wdsinθ=0
رابطه بالا، یک معادله دیفرانسیل[url=https://blog.faradars.org/second-order-differential-equations/][/url] معمولی غیرخطی از مرتبه دوم است. با اینکه می‌توان برای این معادله، پاسخ دقیق را به دست آورد، برای بیشتر معادلات دیفرانسیل غیرخطی این امکان فراهم نیست. با این حال، پاسخ تقریبی این معادله را می‌توان به دست آورد. روش عددی یا تقریب این معادله با یک معادله خطی، روش‌هایی هستند که میتوانیم از آنها استفاده کنیم. برای تقریب این معادله با یک معادله خطی، جابجایی زاویه‌ای را کوچک فرض می‌کنیم. در این حالت، زاویه θ
کوچک است و در نتیجه میتوانیم از تقریب sinθ≈θ
استفاده کنیم. بنابراین، معادله حرکت به شکل زیر ساده می‌شود.
J0¨θ+Wdθ=0
با توجه به رابطه بالا، فرکانس طبیعی آونگ مرکب در ارتعاشات آزاد به صورت زیر است.
ωn=(WdJ0)1/2=(mgdJ0)1/2
مقایسه این رابطه با فرکانس طبیعی مربوط به آونگ ساده (ωn=(gl)1/2
)، نتیجه زیر را برای طول در آونگ ساده معادل به همراه دارد.
l=J0md
شعاع ژیراسیون (Gyration Radius) جسم صلب حول نقطه O
را با k0 نشان می‌دهیم. اکنون با جایگذاری mk20 به جای J0
، رابطه‌های اخیر را بازنویسی می‌کنیم.
ωn=(gdk20)1/2 l=k20d
اگر شعاع ژیراسیون جسم صلب را حول نقطه G
با نماد kG
نشان دهیم، رابطه زیر را میتوانیم بنویسیم.
k20=k2G+d2 l=k2Gd+d
اگر امتداد خط OG
را تا نقطه A رسم کنیم، که در رابطه GA=k2Gd
صدق کند، طول شفت برابر با عبارت زیر خواهد بود.
l=GA+d=OA
از این رو، فرکانس طبیعی به قرار زیر است.
ωn=[g(k20/d)]1/2=(gl)1/2=(gOA)1/2
نتیجه به دست آمده نشان می‌دهد که فرقی نمی‌کند، لولا در نقطه O
یا A قرار گرفته باشد و فرکانس طبیعی یکسان است. نقطه A را مرکز ضربه (Center of Percussion) می‌نامیم.
اگر جسم صلبی حول یک محور مرجع دوران کند، حرکت آن به صورت ارتعاشات پیچشی خواهد بود. در این مورد، جابجایی جسم برحسب یک مختصات زاویه‌ای اندازه‌گیری می‌شود. در ارتعاشات آزاد پیچشی، ممان بازگرداننده، از پیچش یک عضو الاستیک یا به دلیل یک ممان خنثی نشده‌ای ناشی می‌شود که یک نیرو یا کوپل، آن را به وجود آورده است. شکل زیر، دیسکی را نشان می‌دهد که ممان اینرسی قطبی جرم آن برابر J0
بوده و در انتهای یک شفت صلب مدوّر قرار دارد. انتهای دیگر شفت، ثابت شده است. فرض کنید دوران زاویه‌ای دیسک، حول محور شفت را با زاویه θ
تعریف کنیم و این زاویه، نشان دهنده زاویه پیچش شفت هم باشد. همان‌طور که در مقاله تحلیل میله های درحال پیچش دیده‌ایم، در پیچش شفت‌های دایره‌ای، رابطه زیر برقرار است.
Mt=GI0lθ
در این رابطه، Mt
گشتاوری است که منجر به پیچشی به اندازه θ می‌شود. مدول برشی و طول شفت به ترتیب با G و l نشان داده شده‌اند. I0
نیز ممان اینرسی قطبی مربوط به سطح مقطع شفت است که با کمک رابطه زیر به دست می‌آید.
I0=πd432
قطر شفت با d
نشان داده شده است. اگر دیسک به اندازه θ نسبت به موقعیت تعادلش جابجا شود، گشتاور بازدارنده‌ای با بزرگی Mt
ایجاد می‌شود. بنابراین، به عنوان یک فنر پیچشی عمل می‌کند که ثابت این فنر پیچشی به صورت زیر محاسبه می‌شود.
kt=Mtθ=GI0l=πGd432l
معادله حرکت زاویه‌ای دیسک، حول محورش را می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن نتیجه گرفت. با در نظر گرفتن نمودار جسم آزاد رسم شده دیسک در شکل قبل و با اعمال قانون دوم نیوتن، معادله حرکت قابل استخراج است.
J0¨θ+ktθ=0
(رابطه ۱۲)
همان‌طور که می‌بینید این رابطه مشابه رابطه ۳ در ابتدای این مقاله است. اگر ممان اینرسی قطبی J0
، جابجایی زاویه‌ای θ و ثابت فنر پیچشی kt را به ترتیب با جرم m، جابجایی x و ثابت فنر خطی k
جایگزین کنیم، به همان رابطه خواهیم رسید. از این رو، فرکانس طبیعی سیستم پیچشی در ارتعاشات آزاد با کمک رابطه زیر به دست می‌آید.
ωn=(ktJ0)1/2
(رابطه ۱۳)
دوره و فرکانس ارتعاشات آزاد برحسب دور در ثانیه به قرار زیر است.
τn=2π(J0kt)1/2 fn=12π(ktJ0)1/2
در مورد این سیستم باید چند نکته را مد نظر قرار داد. ممان اینرسی قطبی مربوط به جرم یک دیسک را می‌توان با استفاده از رابطه J0=ρhπD432=WD48g
به دست آورد. در رابطه بالا، ρ چگالی، h ضخامت و D قطر دیسک را نشان می‌دهد و وزن آن برابر W
[list]
[*]است.
[*]به سیستم اینرسی–فنر پیچشی نشان داده شده در شکل قبل، آونگ پیچشی گفته می‌شود. یکی از مهمترین کاربردهای آونگ پیچشی در ساعت‌های مکانیکی است. در این ساعت‌ها، چرخ‌دنده و شیطانک (Pawl)، نوسان یک آونگ پیچشی کوچک را به حرکت عقربه‌ها تبدیل می‌کند.
[/list]برای به دست آوردن پاسخ عمومی رابطه ۱۲، مانند رابطه ۳ عمل می‌کنیم.
θ(t)=A1cosωnt+A2sinωnt
با کمک رابطه ۱۳، ضرایب A1
و A2
را با کمک شرایط اولیه به دست می‌آوریم.
θ(t=0)=θ0 ˙θ(t=0)=dθdt(t=0)=˙θ0 ⇒ A1=θ0 ⇒ A2=˙θ0ωn
مثال ۴ — فرکانس طبیعی آونگ مرکب در ارتعاشات آزاد
سؤال: هر جسم صلبی که در نقطه‌ای غیر از مرکز جرمش لولا شده باشد، به دلیل نیروی گرانشی خودش، حول آن نقطه نوسان خواهد کرد. چنین سیستمی به عنوان آونگ مرکب شناخته می‌شود. به شکل زیر توجه کنید. فرکانس طبیعی این سیستم چقدر است؟
پاسخ: فرض کنید نقطه مورد نظر و مرکز جرم این آونگ مرکب، به ترتیب O
و G باشد. ارتعاشات آزاد جسم صلب نشان داده شده در شکل بالا، به صورت نوسان در صفحه xy است و از مختصات θ، برای توصیف این حرکت استفاده می‌شود. فاصله بین دو نقطه O و G را با d نشان داده‌ایم و ممان اینرسی جسم صلب حول محور z (عمود به هر دو محور x و y)، برابر J0 است. برای جابجایی به اندازه θ، گشتاور بازدارنده ناشی از وزن جسم صلب (W) برابر Wdsinθ
بوده و معادله حرکت به صورت زیر است.
J0¨θ+Wdsinθ=0
رابطه بالا، یک معادله دیفرانسیل[url=https://blog.faradars.org/second-order-differential-equations/][/url] معمولی غیرخطی از مرتبه دوم است. با اینکه می‌توان برای این معادله، پاسخ دقیق را به دست آورد، برای بیشتر معادلات دیفرانسیل غیرخطی این امکان فراهم نیست. با این حال، پاسخ تقریبی این معادله را می‌توان به دست آورد. روش عددی یا تقریب این معادله با یک معادله خطی، روش‌هایی هستند که میتوانیم از آنها استفاده کنیم. برای تقریب این معادله با یک معادله خطی، جابجایی زاویه‌ای را کوچک فرض می‌کنیم. در این حالت، زاویه θ
کوچک است و در نتیجه میتوانیم از تقریب sinθ≈θ
استفاده کنیم. بنابراین، معادله حرکت به شکل زیر ساده می‌شود.
J0¨θ+Wdθ=0
با توجه به رابطه بالا، فرکانس طبیعی آونگ مرکب در ارتعاشات آزاد به صورت زیر است.
ωn=(WdJ0)1/2=(mgdJ0)1/2
مقایسه این رابطه با فرکانس طبیعی مربوط به آونگ ساده (ωn=(gl)1/2
)، نتیجه زیر را برای طول در آونگ ساده معادل به همراه دارد.
l=J0md
شعاع ژیراسیون (Gyration Radius) جسم صلب حول نقطه O
را با k0 نشان می‌دهیم. اکنون با جایگذاری mk20 به جای J0
، رابطه‌های اخیر را بازنویسی می‌کنیم.
ωn=(gdk20)1/2 l=k20d
اگر شعاع ژیراسیون جسم صلب را حول نقطه G
با نماد kG
نشان دهیم، رابطه زیر را میتوانیم بنویسیم.
k20=k2G+d2 l=k2Gd+d
اگر امتداد خط OG
را تا نقطه A رسم کنیم، که در رابطه GA=k2Gd
صدق کند، طول شفت برابر با عبارت زیر خواهد بود.
l=GA+d=OA
از این رو، فرکانس طبیعی به قرار زیر است.
ωn=[g(k20/d)]1/2=(gl)1/2=(gOA)1/2
نتیجه به دست آمده نشان می‌دهد که فرقی نمی‌کند، لولا در نقطه O
یا A قرار گرفته باشد و فرکانس طبیعی یکسان است. نقطه A را مرکز ضربه (Center of Percussion) می‌نامیم.